Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: изд-во Моск. Ун-та. 1984. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1987

Shartga ko’ra bo’ladi vа bu ayniyatda deb olsak.

f(x,y)= bo’ladi. Ushbularga asoslanib (1^/)deb yozamiz. almashtirish qilamiz, u holda у^/=u^/ x+u yoki ekani topamiz. Buni (1^/) tenglamaga qo’ysak (2) ni hosil qilamiz. (2)-tenglama o’zgaruvchilari ajraluvchi differentsial tenglamadir. O’zgaruvchilarni ajratsak

(2^/)

Hosil qilingan tenglamani integrallab (2^/) tenglama umumiy integralini hosil qilamiz, unda deb olsak, (1^/) tenglama umumiy yechim hosil qilinadi.

Та’rif. Birinchi tartibli chiziqli tenglama deb noma’lum funktsiyaga vа uning hosilasiga nisbatan chiziqli bo’lgan tenglamaga aytiladi. U

tenglama ko’rinishda bo’ladi, bunda Р(х) vа Q(x) lar х‑ning berilgan uzluksiz funktsiyalari (yoki o’zgarmas sonlar).

(1) tenglamaning yechimini х‑ning ikkita funktsiya ko’paytmasi shaklida izlaymiz y=u(x)v(x) (2)

Bu funktsiyalardan birini ixtiyoriy olish mumkin, ikkinchisi esa (1) tenglamaga asosan aniqlanadi. (2) tenglikning ikkala tomonini differentsiallaymiz.

hosilaning topilgan ifodasini (1) tenglamaga qo’yamiz.

(3)

funktsiyani

tenglama o’rinli bo’ladigan qilib tanlaymiz. Bu differentsial tenglamada o’zgaruvchilarni v₁ gа nisbatan аjratamiz; (4) tenglamaning noldan farqli biror yechimi topish yetarli bo’lgani uchun V(x) funktsiya deb

v(x)=e^-pdx

ni olishimiz mumkin. v(x)0 bo’lishi o’z o’zidan ravshan.

v(x) ning topilgan qiymatini (3) tenglamaga qo’yib ekanini e’tiborga olib, v(x) yoki tenglamani hosil qilamiz, bundan y= ekani kelib chiqadi. V vа U ning bu qiymatini (2)formulaga qo’ysak natijada y=v(x) yoki y=v(x) (6) hosil bo’ladi.