Лекции 14. Основные понятия теории графов. Некоторые виды графов (4 часа)

Лекция 17. Планарность графов. Гомеоморфизм, Теорема Понтрягина – Куратовского. Раскраски и планарность (2 часа)
План:
1. Критерий планарности
2. Теорема Плантрагина-Куратовского
3. Транспортные сети
4. Раскраска графов
Ключевые слова: граф, планарность, раскраска, транспортная сеть.


1. Критерий планарности
Определение. мультиграф называется планарным если его можно нарисовать на плоскости так, что 2 дуги (ребра) либо не имеют общих точек, либо имеют общие точки, совпадающие с вершинами графа.
В точках пересечения сходятся лишь дуги инцидентные вершине, совпадаюшей с точками пересечения.
Такая функция называется плоским мультиграфом.

граф не является
плоским

Внутренние грани плоского мультиграфа называется конечная плоскость окруженная простым циклом и не содержащая внутри себя никаких ребер.
Простой цикл ограничен. Называется её границей.
Часть плоскости состоящая из точек принадлежащих графу и какой либо её плоскости называется её высшей степенью.
Для связанных плоских мультиграфов выполняется соотношение Эйлера
n – количество вершн
m – количество ребер
- гр. внеш


2. Теорема Плантрагина-Куратовского
Теорема: Граф планарен тогда и только тогда, когда ни одна из его подграфов не гомопотрофна следующим графам

Раскраской вершин графа (или ребер мультиграфа) называется сопоставление вершинам определенных цветов.
Раскраска называется правильной если смежные вершины (ребра) окрашены в разные цвета.
Наименьшее число цветов для каждого прав. раскраски графа G называется хроматическим числом и обозначается X(G)

1)
2)
3)
Для хроматического индекса свойства:
1)
2) G граф

3. Транспортные сети
Транспортной сетью называется орт граф
для которого выражаются условия:
1) одна и только одна вершина называется источником
множество дуг заходящих в точку
2) -//- верш . называется истоком т.ч.
3) Каждой дуге сопоставляется число (целое и не отрицательное) т.ч. называемое пропускной способностью дуги
4) Вершины отличные от источника и истока называются промежуточными
Определение. потока
Функция определенная на множестве X граф D и принимающая целочисленные значения называется потоком транспортной сети D, если
1) для дуги
2) для промежуточной дуги x
2,5) для промежуточной вершины


Сколько вышло столько и вошло.


Определение. называется насыщенным, если поток по ней равен ее пропускной способности
Определение. поток называется полным, если его путь из в содержит хотя бы одну насыщенную дугу
Определение. Поток называется максимальным, если принимает максимальное значение по сравнению с другим допустимым потоком.
Замечан || максимальный поток является полным, но обратно не верно.
Алгоритм построения полного потока
1)
2) из удаляем дуги являющиеся насыщенными
3) ищем в простую цепь
, если не находим, то конец.
- искомый поток по определению
4) Увеличим поток по всем дугам на одинаковую величину т.ч. хотя бы одна дуга из является насыщенной, потоки по остальным не превышают их пропускных способностей