Lebeg o’lchovi

1-Teorema. E to’plamning tashqi o’lchovi uning ichki o’lchovidan kichik emas, y’ani

Isbot. Aniq quyi chegaraning tarifiga muvofiq, har qanday kichik musbat son uchun E to’plamni o’z ichiga olgan shunday oraliqlar sistemasi mavjudki, ushbu

( son oraliqning uzunligi).
Shunga o’xshash, to’plamni o’z ichiga olgan oraliqlar sistemasi mavjudki, ushbu

( son oraliqning uzunligi) tengsizliklar bajariladi. { } va { } oraliqlar sistemasi tuzulishiga ko’ra
va
Demak,
(3)
(1),(2)va (3) munosabatlarga muofiq:

Bundan:

Bu tengsizlik ihtiyoriy kichik uchun bajarilganligi sababli undan

munasabat kelib chiqadi.
2-Teorema. Agar va to’plamlar uchun bo’lsa, u holda
,
Isbot. Bu tengsizliklarni isboti o’hshash bo’lganligi sababli ularni birinchisini isbotlash bilan chegaranamiz. bo’lganligi uchun to’plamni qoplaydigan har qanday oraliqlar sistemasi to’plamni ham qoplaydi. Malumki, bunday oraliqlar sistemasini cheksiz ko’p usullar bilan tuzish mumkin. Natijada yig’indi ( bu yerda son oraliqning uzunligi ) cheksiz ko’p qiymatga ega bo’ladi. Agar to’plamni qoplaydigan oraliqlar sistemasi uchun tuzilgan yig’indining qiymatlar to’plami bilan, to’plamni qoplaydigan oraliqlar sistemasi uchun tuzilgan yig’indining qiymatlar to’plami bilan belgilasak, munasabatga ega bo’lamiz. Bundan aniq quyi chegaraning ta’rifiga ko’ra

o’rinli bo’ladi.