Lebeg o’lchovi

4-Teorema. Agar chegaralangan to’plam uchun , ,
bo’lsa, u holda

Isbot. Teoremani daslab ikki to’plam uchun isbotlaymiz. Faraz qilaylik, , bo’lib to’plamni o’z ichiga olgan eng kichik segment bo’lsin. va to’plamlarni ko’ramiz.
Har qanday uchun shunday va oraliklar sistemasini topish mumkinki, ular uchun ushbu
va (4)
hamda
va (5)
munosabatlar bajariladi; bu yerda va sonlar mos ravishda va oraliqlarning uzunliklari. va to’plamlar o’zaro kesishmaganligi tufayli, va to’plamlar oraliqlarni qoplaydi:

Bundan (4) munosabatga asosan, ushbu munosabatga ega bo’lamiz:
(6)
va oraliqlarning kesishmasi ham oraliq bo’lganligi uchun (6) munosabatdan ushbu
(7)
tengsizlik kelib chiqadi, bu yerda son oraliqning uzunligi .
Endi, ushbu

munosabatdan

tengsizlik kelib chiqadi. Bundan (7) tengsizlikka asosan, ushbu

tengsizlikni olamiz. Bundan (5) tengsizlikka asosan, ushbu

tengsizlikni olamiz. ning ihtiyorligidan esa

tengsizlik kelib chiqadi. Bundan

tengsizlikni olib, ushbu natijaga kelamiz:

Har qanday chekli uchun teorema induksiya usuli orqali isbotlanadi.
Faraz qilaylik, endi , , bo’lsin. Ixtiyoriy naturol son uchun ushbu

belgilashni kiritamiz. Bundan munosabat kelib chiqadi. 3-teoremaga asosan tengsizlikka ega bo’lamiz. Hozirgina isbotlaganimizga asosan esa

Demak,

Natural son ihtiyoriy bo’lganligi uchun, bundan da ushbu

tengsizlik kelib chiqadi.
2-Izoh. Bu teoremada to’plamlarning kesishmaydigan qilib olinishi muhim, chunki, agar , bo’lsa u holda
, .

Bundan esa Lekin

Endi to’plam o’lchovining ta’rifini beramiz.
2-Ta’rif (A.Lebeg). Agar to’plamning tashqi o’lchovi uning ichki o’lchoviga teng bo’lsa, u holda o’lchovli to’plam deyiladi va uning o’lchovi bilan belgilanadi, ya’ni

Bu ta’rif ma’nosidagi o’lchovli to’plamni o’lchovli to’plam deyiladi. Yuqoridagi mulahazalardan va tengliklarning o’rinli ekanligi bevosita ko’rinadi.