Laboratoriya ishi №5 puasson tenglamasi uchun dirixle masalasini chekli ayirmalar usuli bilan yechish

1-jadval

5	1,0	1,0	1,2	1,4	1,6	1,8	2,0
4	0,8	0,64	0,84	1,04	1,24	1,44	1,64
3	0,6	0,36	0,572	0,784	0,996	1,208	1,36
2	0,4	0,16	0,352	0,544	0,736	0,976	1,16
1	0,2	0,04	0,172	0,304	0,476	0,744	1,04
0	0,0	0,0	0,008	0,064	0,216	0,512	1,0
j	xj xi	0,0	0,2	0,4	0,6	0,8	1,0
	i	0	1	2	3	4	5

ni interpolyatsiya usuli bilan hisoblash ketma-ketligi 2-jadvalda sxematik tarzda ko`rsatilgan. Raqamlar hisoblash tartibini ko`rsatadi.
2-jadval
ni interpolyatsiya usuli bilan toppish ketma-ketligi

5	1,0			1
4	0,8			2
3	0,6		4				1
2	0,4	1	6
1	0,2		8	7	5	3
0	0,0			1
j	xj xi	0,0	0,2	0,4	0,6	0,8	1,0
	i	0	1	2	3	4	5

Yangi taqribiy yechim (10) dan topiladi. Bunda barcha yaqinlashishlarda chegardagi qiymatlar o`zgarmasdan saqlanadi.

Hisoblashga misol keltiramiz:


ning boshqa ichki tugunlardagi qiymatlari xuddi shunday topiladi. Hisoblash natijalari 3-jadvalda keltirilgan.

3-jadval

qiymatlari

1,0	1,0	1,2	1,4	1,6	1,8	2,0
0,8	0,64	0,919	1,1468	1,3595	1,5642	1,64
0,6	0,36	0,6359	0,8604	1,075	1,2733	1,36
0,4	0,16	0,4075	0,6098	0,8234	1,0424	1,16
0,2	0,04	0,21	0,3595	0,5519	0,81	1,04
0,0	0,0	0,008	0,064	0,216	0,512	1,0
xj xi	0,0	0,2	0,4	0,6	0,8	1,0

Ko`rinib turibdiki, ichki tugunlardagi birinchi yaqinlashish nolinchi yaqinlashishdan keskin farq qiladi. Yechim aniqligi sifatida =0,01 olamiz. Quyidagini aniqlaymiz

> shart iteratsiya jarayonini davom ettirish lkerakligini anglatadi.
Chekli ayirmalar usulida olingan taqribiy yechim xatoligi ikki qismdan iborat: 1) differensial tenglamani chekli ayirmalar bilan almshtirishdagi xatolik,
2) (9) sistemani taqribiy yechishdagi xatolik.


4. Laboratoriya ishini bajarish tartibi

1. 
   Variantga mos masala qo’yiladi;
   
2. 
   (9) chekli ayirmali sxemani tuzish;
   
3. 
   nolinchi taqribiy yechim ni N₁ = N₂=5 da hisoblash uslubini ko`rsatgan holda qo`lda hisoblash (1-jadvalni tuzish);
   
4. 
   birinchi taqribiy yechim ni qo`lda hisoblash (3-jadvalni tuzish);
   
5. 
   Kompyuterda taqribiy yechimlarni =0,001 aniqlikgacha quyidagi ikki holda yeching:
   

- nolinchi yaqinlashishni interpolyatsiya usulida tanlab;

• 
  nolinchi yaqinlashishni chegarada chegaraviy shartlarga binoan tanalb, ichki tugunlarda esa –
  

.

6. 
   Nolinchi yaqinlashish intervolyatsia ususilda tanlangan holatda, qo`lda va kompyuterda olingan nolinchi va birinchi yaqinlashishlarni taqqoslang.
   
7. 
   Nolinchi yaqinlashishni tanlashning ikkita holatidagi kompyuterda olingan natijalardagi iteratsiyalar sonini taqqoslang.
   
8. 
   Xulosalar.
   

5. Laboratoriya ishishi bajarish uchun topshiriq variantlari [4, 5]

Puasson tenglamasi uchun Dirixle masalasi yechimi u(x₁, x₂) ni tomoni birga teng bo’lgan kvadratda toping

quyidagi chegaraviy shartlardan foydalaning

funksiyalar 4-jadvalda keltirilgan

4-jadval

Var№	f1(x2)	f2(x2)	g1(x1)	g2(x1)
1	1 - x2^3	x2	-x1^2+1	x1^2
2	1 - x2^2	x2	sin x1-(1+sin1) x1^3	x1
3	x2^2	сos x2+(2-cos1) x2	x1^3	1+ x1
4		x2	1-x1^3	x1^2
5	0	x2	sin x1- x1^3sin1	x1
6	-2 x2-4 x2^2	4-12 x2-4 x2^2	x1^3+3 x1^2	-6-9 x1+3 x1^2
7	1	1+ x2	1	1+ x1
8	1	1+x2	1	1+ x1^2
9	1		1
10
11		1	1-	-1
12	5x2	4- +5x2		+4
13	3-7x2	7-6x2	4x1+3	5x1-4
14	5-8x2	11-7x2	6x1+5	7x1-3
15		+4	x1^2+3x1	x1^2+3x1+5
16	x2^2	(1- x2^2)^2	x1^2	(x1-1)^2
17	x2^2	x2^2+2x2	x1^2- x1	x1^2- x1+1
18	0	sin x2	0	sin x1
19	- sin x2	sin (1-x2)	sin x1	sin (x1-1)
20	1	1+cos x2	x1	x1+cos x1
21	30 x2	0	0	30(1- x1^2)
22	20 x2	30 cos (x2/2)	20 x1^2	30 cos (x1/2)
23	50 x2(1- x2^2)	0	50 sin x1	0
24	20x2	20x2^2	50 x1(1-x1)	20
25	0	50x2(1-x2^2)	50 x1(1-x1)	50 x1(1-x1)
26	30 sin x2	20x2	30 x1(1-x1)	20x1
27	30(1-x2)	20x2	30(1-x1)
28	50 sin x2	30x2	50 sin x1
29	40x2^2	40	40 cos(x1/2)	40
30	40x2^2	0	60x1(1-x1^2)	60(1-x1)
31	20x2^2	20x2	10x1(1-x1)	20
32		20 x2(1-x2)	0	40(1-x1)
33	20cos(x2/2)	30 x2(1-x2^2)	20(1-x1^2)	30x1(1-x1)
34	30x1^2(1-x2)	0	10x1^2(1-x1)	50 sin(x1)
35	20x2		0	20(1-x1^2)
36	30(1-x2^2)	30	30	30x1^2
37	cos(x2/2)	30x2	30cos(x1/2)	30x1^2
38	0	50x2(1-x2)	0	50cosx1
39		20x2^2	40x1(1-x1)	20
40	50x2(1-x2)	0	40x1(1-x1^2)	30x1
41	20sin(x2)	30x2	40(1-x1)	30x1
42	40(1-x2)	30x2	40(1-x1)
43	20sin(x2)	50x2^2	20sin(x1)
44	40	40x2^2	20sin(1-x2)/2	40
45	30x2^2	0	40x1^2(1-x1)	30(1-x1)
46	25x2^2	25x2	20x1(1-x1)	25
47		30x2(1-x2)	0	15(1-x1)
48	30cos(x2/2)	25 x1(1-x1^2)	30(1-x1^2)	20x1(1-x1)
49	10x2^2(1-x1)	0	15 x1(1-x1^2)	30sin(x1)
50	25x2		0	25(1-x1^2)

6. Adabiyotlar

1. 
   Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972.
   
2. 
   Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1989.
   
3. 
   Копченова Н.В., Марон И.А. Вычислительная математика в примерах и задачах. М.: Наука, 1972.
   
4. 
   Плис А.И., Сливина Н.А. Лабораторный практикум по высшей математике. М.: Высшая школа, 1983.
   
5. 
   Воробьева Г.Н., Данилова А.Н. Практикум по вычислительной математике. М.: Высшая школа, 1990.