Kvaziyechim usuli

Kvaziyechim usuli

Faraz qilaylik (5.1) masala shartli korrekt qo’yilgan bo‘lsin, ya’ni (5.1) masala yechimi yagona va mavjud bo‘lib, berilgan M to‘plamga tegishli hamda operator bilan akslantirilgandagi M to’plamning obrazi) to’plamda berilgan funksiyaga tekis uzluksiz bog‘langan. Bu yerda X va F Banax fazolari.

Ta’rif. 10.1 [9]. (5.1) masalaning M to’plamdagi kvaziyechimi deb, quyidagi shartni qanoatlantiruvchi ga aytiladi.
=inf
(Kvaziyechim tushunchasi V.K.Ivanov tomonidan kiritilgan) (5.1) masalaning yechimi mavjud va yagona bo’lgan (5.1) tenglamaning o’ng tomoni uchun (masalan (5.1) o‘ng tomoni absolyut berilgan hol) kvaziyechim yechim bilan ustma-ust tushadi. Kvaziyechim tushunchasi (5.1) masalaning o’ng tomoni taqribiy berilganda, ya’ni o’ng tomonining xatoligi yechimning korrektlik to’plamidan chiqaradigan hollarda ma’noga ega. Agar korrektlik to’plami kompakt bo’lsa, u holda doimo kvaziyechim mavjud, chunki kompaktda uzluksiz funksiya o’zining eng kichik qiymatiga erishadi.
Taqribiy berilganlar bo’yicha taqribiy yechim qurish masalasini ko’rib chiqamiz. Faraz qilaylik, bizga {f_e;A_h } ma’lum bo’lsin:
|| f-f_e|| < E, ||A-A_h|| < h ((D(A)=D(A_h)= D)
{f_e; A_h} berilganligi uchun M kompantda (5.1) tenglamaning taqribiy yechimi sifatida kvaziyechimni olamiz, ya’ni x_he quyidagi ekstremal masalaning yechimi
inf{||A_hx-f_e|| : x E M}
bo’lsin. S orqali {A_h: ||A-A_h|| < h, 00} to’plamni belgilayamiz.
Teorema 10.1 [9] Agar A, A_h operatorlar uzluksiz, M kompank bo’lsa, barcha A_h E S va f_e E F uchun (10.1) ekstremal masala x_he yechimlari ketma-ketligi x aniq yechimga intiladi.
Isbot. Yuqorida aytganlarimizdek ||Ax-f|| funksionalning uzluksizligidan uning M kompaktda eng kichik qiymatini beradigan x_he element mavjudligi kelib chiqadi. Endi yaqinlashishni isbotlaymiz:
||Ax_he- Ax|| <
<||Ax_he- A_hx_he||+||Ahxhe-f_e||+||f-f_e||<
he|| + ||A_hx_he-f_e||+e
Undan tashqari
||A_hx_he-f_e||=inf{||A_hx-f_e||: x E M}<
<||A_hx-Ax||+||f-f_e||M kompakt bo’lgani uchun x_he chegaralangan, u holda yuqoridagilardan (h, e) – 0 bo’laganda ||Ax_he-Ax||-0 kelib chiqadi. Tixonov teoremasiga muvofiq esa, lim || x_he-x||=0 ligi kelib chiqadi.
^(h,e)-0
Bu esa teoremani isbotlaydi.
Faraz qilaylik u element va Q to’plam U fazoga tegishli bo’lsin.
Ta’rif 10.2. Agar quyidagi tenglik o’rinli bo’lsa,

element y elementining proyeksiyasi deb ataladi, va kabi yoziladi.
Teorema 10.2 . Agar M kompaktda yagona yechimga ega bo’lib va har bir elementning proyeksiyasi da yagona bo’lsa, u holada (5.1) tenglamaning kvaziyechimi yagona va ga uzluksiz bog’liq bo’ladi.
Isbot . Faraz qilaylik kvaziyechim va bo’lsin. Kvaziyechim ta’rifidan ning to’plamga proyeksiyasi ekanligi kelib chiqadi. Teorema shartiga ko’ra birdan bir aniqlanadi. Bu yerdan esa M to’plamning N to’plamga o’zaro bir qiymatli akslanishidan kvaziyechimining yagonaligi kelib chiqadi.
ekanligidan A.N.Tixonov teoremasiga muvofiq ning N da uzluksizligi kelib chiqadi. X to’plada esa proyeksiyalash operatori uzluksiz. Shunday qilib uzluksiz operator va kvaziyechim o’ng tomonga uzluksiz bog’liq bo’ladi.
Kvaziyechim qurish masalasini ko’rib chiqamiz. Bu masalani biz maxsus tanlab olingan korrektlik to’plami uchun bajaramiz.
Faraz qilaylik korrektlik to’plami quyidagicha aniqlansin:
},
Bu yerda esa Gilbert fazosi, chiziqli to’la uzluksiz operator ( bu yerda X va F Gilbert fazolari). Shunday qilib M to’plam B operator orqali akslantirilgan shar obrazi, undan tashqari .
Bu holda kvaziyechim aniqlash masalasi quyidagi: