Курсовая работа студент группы

Понятие автономной системы дифференциальных уравнений
Теория обыкновенных дифференциальных уравнений позволяет изучать всевозможные эволюционные процессы, обладающие свойствами детерминированности, конечномерности и дифференцируемости. Процесс называется детерминированным, если весь его будущий ход и все его прошлое однозначно определяется состоянием в настоящее время. Множество всевозможных состояний процесса называется фазовым пространством. Процесс называется конечномерным если его фазовое пространство конечномерно, т.е число параметров нужных для описания его параметров конечно. Процесс называется дифференцируемым если его фазовое пространство имеет структуру дифференцируемого многообразия, а изменение состояния во времени описывается дифференцируемыми функциями. Система обыкновенных дифференциальных уравнений называется автономной, если в нее явно не входит независимое переменное t. (или, как говорят, время)
(1.1)
4

Всякую систему можно свести к автономной. Мы ограничимся изучением автономных нормальных систем уравнений порядка n, т.е. систем вида:

(1.1)

+Автономность системы (1.1) заключается в том, что функции f_i(x₁,¼,x_n), i = 1,¼,n является функциями только переменных x₁,¼,x_n и не зависят от времени t.

Автономные системы на плоскости.

Рассмотрим автономную двумерную систему
(1), где вектор-функция  , из пространства  .
Сначала изучим поведение траекторий системы (1) в линейном случае, т.е. когда она имеет вид  , где  при этом предположим, что система (2) имеет единственное состояние равновесия и оно расположено в точке О(0,0). С помощью линейного невырожденного преобразования x=Sy систему (2) приведем к виду  (3), где  J-вещественная нормальная форма жардана матрицыA. В зависимости от вида формы жордана J рассмотрим случаи:
Случай 1: Собственные числа  матрицы A вещественны, различны и  . В этом случае жорданова форма  . Параметрические ур.траектории системы(3)  Расположение траекторий при 
-узел (бикритический узел). Состояние равновесия О-узел.
5
Случ.2:  и вещественны. Состояние равновесия – седло. Геометрическая картина: 
Случ.3: Корни характеристического ур.системы (2) комплексно сопряженные и при этом  . Форма жордана имеет вид  . Перейдем к полярным координатам и в результате получим систему  . Отсюда получаем параметрические ур.траекторий в виде  . При  траектории образуют спираль. Состояние равновесия – фокус.  Если α=0, то центр 
Случ.4: Собственные числа матрицы A  , а нормальная форма жордана имеет вид  .Траектории системы расположены на кривых 
Расположение траекторий – монокритический узел:

Случ.5: Собственные числа , а нормальная жорданова форма имеет вид:  . Траектории системы (3) расположены на прямых  Картина расположения траекторий – дикритический узел:
6
Автономные системы на плоскости. Предельные циклы. Рассмотрим автономную двумерную систему , (5) где  — область.
Предположим, что система (5) имеет замкнутую траекторию  с наименьшим периодом  . Возьмем произвольную точку  и проведем через нее нормаль  к  единичной длины. Для определенности считаем, что  направлен во внешнюю область. Не нарушая общности, считаем также, что  — начало координат (этого можно добиться заменой  ). Точки на нормали  определяются единственной координатой  . В качестве  берем расстояние от точки нормали до начала координат, если точка лежит снаружи  , и это расстояние, взятое с обратным знаком, если она лежит внутри  .
Рассмотрим траектории  , проходящие через точки нормали. Запишем уравнение
(6)
с неизвестными t, s ( — параметр).
Лемма 3. Существует  такое, что в области  уравнение (6) имеет единственное решение  , удовлетворяющее условиям  , причем функции  непрерывно дифференцируемы при  .
Доказательство. Так как  — решение с периодом , то по теореме о дифференцируемости решения функция  определена и непрерывно дифференцируема по t и  в некоторой окрестности точки  . Тогда функция  определена и непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки  . Так как  ‑периодична, то  . Рассмотрим якобиан  в точке  . Имеем  . Следовательно, в точке  , поскольку  и  — ортогональные векторы. Тогда утверждение леммы вытекает из теоремы о неявной функции.
Следствие. Справедлива формула .
7
Выясним геометрический смысл функций  . Лемма 3 утверждает, что каждая траектория, пересекающая нормаль  в точке  из -окрестности начала координат, вновь пересечет ее через промежуток времени  в точке  . При этом так как функция  также делает полный оборот вдоль  при  , то траектория  также делает полный оборот при  , оставаясь в малой окрестности  , если  достаточно мало.

Функция  называется функцией последования.
Определение. Замкнутая траектория  автономного уравнения (5) называется устойчивым предельным циклом, если существует такое  , что  является -предельным множеством для любой траектории, проходящей через точку из -окрестности кривой  .
Определение. Замкнутая траектория  автономного уравнения (5) называется неустойчивым предельным циклом, если существует такое  , что  является -предельным множеством для любой траектории, проходящей через точку из -окрестности кривой  .
Так как в реальной действительности время течет в положительном направлении, то на практике реализуются те периодические движения, которым соответствуют устойчивые предельные циклы. Такие движения называются автоколебаниями.
Теорема 4. Пусть  . (7)
Если  , то  является устойчивым предельным циклом; если  , то  — неустойчивый предельный цикл.
Характер приближения соседних траекторий к  при  следующий: они приближаются к  , образуя бесконечное число витков спирали, как изнутри, так и снаружи.
8