Курсовая работа на тему: " " Студент группы 19. 09(р)

Глава II. Примеры задач для УМФ
1.1 Одномерное уравнение теплопроводности

Уравнение, описывающее распространение тепла в однородном стержне имеет вид:

, (2.1.1)

где u(t,x) - температура, и a - коэффициент температуропроводности - положительная константа, описывающая скорость распространения тепла. Задача Коши ставится следующим образом:

НУ: , (1.1.2)

где f(x) - произвольная функция(начальное условие).

2.2 Уравнение колебаний струны
Дифференциальное уравнение, описывающее свободные колебания струны, имеет вид:


. (2.2.1)

Здесь u(t,x) - смещение струны от положения равновесия, или избыточное давление воздуха в трубе, или магнитуда электромагнитного поля в трубе, а c - скорость распространения волны. Для того, чтобы сформулировать задачу Коши, здесь следует задать смещение и скорость струны в начальный момент времени:

(2.2.2)
(2.2.3)

В случае конечной струны длинной L для уравнения (4.3) ещё надо задать два ГУ на её концах:

; (2.2.4)
. (2.2.5)

Это пример смешанной краевой задачи.

2.3 Двумерное уравнение Лапласа
Уравнение Лапласа для неизвестной функции имеет вид:


. (2.3.1)

При постановке краевой задачи для уравнения (2.2.6) его необходимо дополнить граничными условиями.

Граничное условие для первой краевой задачи (задача Дирихле):

ГУ-I: (2.3.2)

где f - заданная функция во всех точках P(x,y,z) поверхности Г.
Граничное условие для второй краевой задачи (задача Неймана):
ГУ-II: (2.3.3)

где - заданная функция на поверхности Г, n - внешняя нормаль к Г.

Граничное условие для третьей краевой задачи:
ГУ-III: , (2.3.4)
где h и g - функции заданные на Г.физика