Курсовая работа на тему: " " Студент группы 19. 09(р)

1.4. Уравнения Пуассона и Лапласа
Уравнение Пуассона - эллиптическое дифференциальное уравнение в частных производных, которое, среди прочего, описывает:
 электростатическое поле,
 стационарное поле температуры,
 поле давления,
 поле потенциала скорости в гидродинамике.
Это уравнение имеет вид:


, (3.5)

где - оператор Лапласа или лапласиан, - действительная или комплексная функция на некотором многообразии.

В трёхмерной декартовой системе координат уравнение в частности принимает форму:



(3.6)
или
, (3.7)
где - оператор Гамильтона ("набла").
Если f стремится к нулю, то уравнение Пуассона превращается в уравнение Лапласа (уравнение Лапласа - частный случай уравнения Пуассона):
. (3.8)
В трёхмерном пространстве уравнение Лапласа записывается так:


(3.9)

и является частным случаем уравнения Гельмгольца.

В двумерном пространстве уравнение Лапласа:


. (3.10)


3.4 Начальные и граничные условия

Начальные и граничные условия (НУ и ГУ) - дополнение к основному дифференциальному уравнению, задающее его поведение в начальный момент времени и на границе рассматриваемой области соответственно.

Обычно дифференциальное уравнение имеет не одно решение, а целое их семейство. Начальные и граничные условия позволяют выбрать из него одно, соответствующее реальному физическому процессу или явлению. В теории обыкновенных дифференциальных уравнений доказана теорема существования и единственности решения задачи с начальным условием (задачи Коши). Для уравнений в частных производных получены некоторые теоремы существования и единственности решений для определенных классов начальных и краевых задач.
При решении нестационарных уравнений математической физики имеем задачи с НУ. Для нахождения искомой функции для них необходимо знать величины, характеризующие её в некоторый начальный момент, а так же все функции возмущений (внешние силы, источники) для всех последовательных моментов времени.
В то же время для уравнений математической физики, описывающих стационарные явления, таких как уравнения Лапласа и Пуассона, ставятся лишь краевые задачи, так как возмущающие (внешние) силы в этом случае, во времени не изменяются, а для анализа стационарной системы нужно знать поведение искомой функции на границе области решения. Заметим, что если эта область ограничена, то соответствующая краевая задача называется внутренней, в противном случае - внешней.
Существуют три важнейших рода ГУ:

. ГУ-I: (3.11)

- заданы значения искомой функции u на границе Г ;

. ГУ-II: (3.12)

- задан поток u через границу Г , n - вектор внешней нормали границы, если f(t) = , то это означает непроницаемость на границе;

. ГУ-III: (3.13)

на границе (поверхности) тела происходит взаимодействие (например, теплообмен) с наружной (окружающей) средой, имеющей значения показателя , где (для задачи теплопроводности) , λ и α - коэффициенты теплопроводности и теплообмена (в законе теплообмена Ньютона ).

Существуют ещё ГУ сопряжения, так называемые ГУ четвёртого рода:

ГУ-IV: (3.14)

Эти равенства означают неразрывность функции u на границе (первое условие) и равенство потоков через границу Г двух сред, то есть при переходе через границу нет потерь (второе условие).

Граничные задачи ставятся следующим образом: найти функцию u, которая удовлетворяет уравнению Лапласа во всех внутренних точках области S, а на границе области - некоторому граничному условию.
В зависимости от рода ГУ различают следующие краевые задачи:
в случае ГУ-I :


- задача Дирихле - (3.15)
первая краевая задача;
в случае ГУ-II :


- задача Неймана - (3.16)

вторая краевая задача;

в случае ГУ-III :


- третья краевая задача. (3.17)