Kurs ishi urganch davlat universiteti fizika-matematika fakulteti matematika yo‘nalishi 192-guruh talabasi babajonova nilufarning diskret matematika va matemtik mantiq fanidan mavzu: To’plamlar algebrasi

7- teorema (kesishmaga nisbatan distributivlik qonuni). Ixtiyoriy A , В va С to 'plamlar uchun

tenglik о‘rinlidir.

Isbot. to'plamning ixtiyoriy elementi x bo'lsin. U holda, kesishmaning ta’rifiga asosan, va bo'ladi. Birlashmaning ta’rifiga ko'ra munosabatdan yoki ekanligi kelib chiqadi. Demak, va yoki va . Bu yerdan esa yoki ekanligi kelib chiqadi. Birlashmaning ta’rifiga ko'ra oxirgi mulohazadan bo'lishini aniqlaymiz.

Endi to‘plamning ixtiyoriy elementi x bo‘lsin.

Birlashmaning ta’rifiga ko‘ra yoki bo'ladi. Bu yerdan, kesishmaning ta ’rifiga asosan, va yoki va bo'lishi kelib chiqadi.

Demak, va (shu bilan birga) yoki . Shuning uchun, va (birlashmaning ta ’rifiga ko'ra) . Bu yerdan, kesishmaning ta’rifiga asosan, .■

Zarur mulohazalar yuritib kesishmaga nisbatan distributivlik qonunini

quyidagicha umumlashtirish mumkin: Ixtiyoriy to'plamlar uchun

tenglik o'rinlidir.

8- teorema . U universal to ‘plamning ixtiyoriy A va В qism to‘plamlari uchun

tenglik о'rinlidir.

Isbot. A va В to'plamlar U universal to‘plamning ixtiyoriy qism to'plamlari bo'lsin. Teoremani isbotlashda 1- shakldan foydalanamiz. Shaklda U universal to'plam to'g'ri to'rtburchak ko'rinishda, A va В to'plamlar esa doiralar sifatida tasvirlangan. 1-a shakldagi U to'plamning bo'yalmagan qismi to'plamga, bo'yalgan qismi esa to'plamga mos keladi.

to'plamning ixtiyoriy elementini x bilan belgilaymiz. To'ldiruvchi to'plamning ta’rifiga ko'ra, va , y a’ni U to'plamning x elementi, bir vaqtning o'zida, ham A to'plamning, ham В to'plamning elementi bo'la olmaydi. Bu yerda uchta hol bor:

1) ( 1-b shakl); 2) ( 1-d shakl);

3) va (1-e shakl). _ _

1) holda , 2) holda , 3) holda esa va bo'ladi. Birlashmaning ta’rifiga ko'ra . ■

Endi to'plamning ixtiyoriy elementi x bo'lsin. Bu holda yoki . Bu natijadan yoki b o 'lishi kelib chiqadi. Shuning uchun va . Demak, .