Kurs ishi mavzu: Yo’nalish bo’yicha hosila. Ilmiy rahbar: o‘qituvchi M. Umirzakova. Qo’qon 2022

Teorema: Agar z=f (x, y) funksiya yopiq va chegaralangan D sohada aniqlangan va uzluksiz bo’lsa, bu D sohada kamida bitta shunday M₀(x₀,y₀) [M₁(x₁,y₁)] nuqta topiladiki, D sohaning boshqa hamma M(x,y) nuqtalari uchun
f ( , )≥ f (x, y), [f (x₁, y₁) ≤ f (x, y)]
munosabat bajariladi.
Bu holda f (x, y) funksiyaning =A, =B qiymatlari mos ravishda uning D sohadagi eng katta va eng kichik qiymatlari deb aytiladi hamda maxf va minf kabi yoziladi.
Ta’rif: Agar D sohada aniqlangan Z=f (x, y) funksiya uchun shunday chekli A (yoki B) soni mavjud bo’lsaki, ixtiyoriy M(x,y) D nuqtada f(x,у) ≤A (yoki f(x,у)≥B) shart bajarilsa, bu funksiya D sohada yuqoridan (yoki quyidan) chegaralangan deviladi.
Masalan, f (x, y) = funksiya yuqoridan A=5, g (x, y) = funksiya esa quyidan В=-2 soni bilan chegaralangan.
Ta’rif: Agar D sohada aniqlangan Z= f (x, y) funksiya bu sohada ham quyidan, ham yuqoridan chegaralangan bolsa, u holda funksiyani D sohada chegaralangan funksiya deb ataladi.
Masalan, f (x, y) = funksiya o’zining D{f}: ≤ 9 aniqlanish sohasida yuqoridan A=3, quyidan esa В=0 soni bilan chegaralangan.
Demak, bu funksiya chegaralangandir.
Misollar
1. Ko’p o'zgaruvchili funksiya tushunchasiga olib keluvchi geometrik masala yozilsin.
Yechish: Bo’yi x, eni у bo’lgan to’g’ri to’rtburchakning yuzi S=xy formula bilan ifodalanadi. Bu yerda S yuza to’g’ri to’rtburchakning bo’yi x va eni у larning funksiyasidir.
2. Ko’p o’zgaruvchili funksiya tushunchasiga olib keluvchi fizik masala yozilsin.
Yechish: Q=kj²Rt - Joull-Lens qonuni. Bu yerda Q o'tkazgichdan tok o'tganda ajralib chiqqan issiqlik miqdori bo'lib, u tok kuchi J, o'tkazgichning qarshiligi R va t vaqtlaming funksiyasidir.
3. U= f (x, y, z) = funksiyaning M₀(-2; 3 ; 10) nuqtadagi xususiy qiymati topilsin.
Yechish: f (x, y, z) = f (-2;3;10) = = == .
4. U(A)=ln funksiyaning A (6;2; -1) nuqtadagi xususiy qiymati topilsin.
U(A)=ln .
5. Quyidagi tengsizliklar bilan berilgan x va y o’zgaruvchilaming D o’zgarish sohasi yasalsin:
1) 2≤x≤6, 1≤y≤3; 2) <1;
3) 4≤ ≤9; 4) 0≤y≤x.
Yechish: 1) x =2, x=6, у=1 va у=3 to’g’ri chiziqlarni yasaymiz:

1-Chizma
2≤x≤6, va 1≤y≤3 tengsizliklami qanoatlantiruvchi nuqtalar, tomonlari x=2, x=6, у=1 va у=3 to‘g‘ri chiziqlarda yotuvchi to‘g‘ri to‘rtburchakning chegaralari va uning ichki nuqtalaridan iborat D yopiq sohadir (1-chizma).
2) <1 tengsizlikni qanoatlantiruvchi nuqtalar, yarim o‘qlari a=3 va b=2 bo'lgan ellipsning ichki nuqtalaridan tashkil topgan D sohadan iborat (2-chizma).

2-chizma 3-chizma
3) Bu holda D soha markazi koordinata boshida va radiuslari r₁=2 va r₂=3 bolgan konsentrik aylanalar bilan hosil qilingan doiraviy halqadan iborat (3-chizma).
4) 0≤y≤x tengsizlikni qanoatlantiruvchi nuqtalar birinchi koordinata burchagi bissektrisasi va OX o’qining musbat yo'nalishi bilan chegaralangan D sohadan iborat (4 chizma).