Kurs ishi mavzu: Yo’nalish bo’yicha hosila. Ilmiy rahbar: o‘qituvchi M. Umirzakova. Qo’qon 2022

I Bob. Ko’p o’zgaruvchili funksiyaning hosila va differensiallari.
1.1§. Ko’p o’zgaruvchili funksiyaning xossalari.
Geometriya va tabiatshunosliknmg bir qator masalalan o‘rganilayotganda o‘zgaruvchi miqdorlar orasida bir o‘zgaruvchi miqdoming qiymati qolganlarining qiymatlari orqali to'la aniqlanadigan bog'lanishlar uchraydi. Jismning biror fizik xarakteristikalari (masalan, uning zichligi p ni yoki temperaturasi T ni) qarayotganimizda jismning bir nuqtasidan boshqasiga o‘tganda bu xarakteristikalaming o‘zgarishini ko‘rish mumkin. Jismning har bir nuqtasi x, y, z dekart koordinatalari bilan aniqlangani uchun qaralayotgan xarakteristikalar uch o‘zgaruvchi. x, y va z ning qiymatlari bilan aniqlanadi.
Vaqt o'tishi bilan o‘zgaruvchi fizik jarayonlar qaralayotganda fizik xarakteristikalar qiymati to'rtta o‘zgaruvchi x, y, z va t ning qiymati bilan aniqlanadi.
Masalan, gazda tovush tebranishlarining tarqalishi o‘rganilayotgandagazning zichligi p va bosimi p to‘rttao‘zgaruvchi x, y, z va t ning qiymati bilan aniqlanadi.
Bunday misollarni geometriyadan ham keltirish mumkin:
Asosi x va balandligi у bo’lgan uchburchakning S yuzi S= formula bilan, chiziqli o’lchovlari x, y, z bo’lgan to’g’ri burchakli parallelepipedning V hajmi V=xyz formula bilan aniqlanadi. Birinchi holda S ikkita x va у ga bog'liq, ikkinchi holda esa V uchta x, y, z o’zgaruvchilarga bog'liq. Shunga o’xshash bog’lanishlarni o’rganish uchun ko’p o’zgaruvchili funksiya tushunchasi kiritiladi.
Ta’rif: Agar n o’lchovli Rⁿ Yevkilid fazosidagi biror D to’plamdagi har bir M (x₁, x₂, …, x_n) nuqtaga ma’lum bir qonun asosida qandaydir µ haqiqiy son mos qoyilgan bo’lsa, u holda µ berilgan D to’plamda aniqlangan n о’zgaruvchili funksiya deyiladi. D Rⁿ to’plamda aniqlangan n o’zgaruvchili funksiyani
U = f (x₁, x₂, …, x_n) yoki qisqacha n=f(M) kabi belgilanadi. Bunda x₁, x₂, …, x_n lar funksiyaning argumentlari deyiladi.
Ta’rif: Berilgan n o'zgaruvchili n=f(M) funksiya ma'noga ega bo’lgan Rⁿ Yevklid fazosidagi barcha M (x₁, x₂, …, x_n) nuqtalar to’plami funksiyaning aniqlanish sohasi, U=f(M) funksiya qabul qiladigan haqiqiy sonlar to'plami esa bu funksiyaning qiymatlar toplami deyiladi.
Funksiyaning aniqlanish sohasini D{f}, qiymatlar sohasini E(f) bilan belgilanadi.
D to’plamdan olingan M nuqtaga mos kelgan µ son funksiyaning M nuqtadagi xususiy qiymati deyiladi.
Kelgusida soddalik uchun va olinadigan natijalarni geometrik talqinini berish maqsadida asosan ikki o’zgaruvchili funksiyani Z, uning argumentlarini esa x va y kabi belgilaymiz. Shunday qilib, umumiy holda ikki o’zgaruvchili funksiyani Z=f (x, y), z=f (x, y), z=g (x, y) va hokazo ko’rinishda yozamiz. Masalan,
z=f (x, y) = , z=g (x, y) =3x+5y-1,
z=h (x, y) = lar ikki o’zgaruvchili funksiyadir.
Ikki o'zgaruvchili z=f (x, y) funksiyaning D{f} aniqlanish sohasi tekislikdagi M (x, y) nuqtalardan tashkil topganligi uchun, у tekislik yoki undagi biror sohadan iborat bo’ladi. Masalan, yuqorida keltirilgan funksiyalar uchun D{f} markazi O (0;0) koordinata boshida joylashgan va radiusi r=1 bo’lgan birlik doiradan, D{g} butun tekislikdan (D{g}=R²), D{h}=R² - {0}, yani tekislikning koordinata boshidan tashqari barcha nuqtalaridan iborat.
Ikki o'zgaruvchili z=f (x, y) funksiyaning geometrik ma’nosi (mazmuni) uning grafigi tushunchasidan kelib chiqadi. Bu tushunchani kiritish uchun fazoda XOYZ to’g’ri burchakli Dekart koordinatalar sistemasini olamiz. XOY koordinata tekisligida funksiyaning D{f} aniqlanish sohasini qaraymiz va uning har bir