1-misol. Ushbu
chiziqli differensial tenglama berilgan bo’lsin. Uni
ko’rinishida yozamiz. Bunda . Ravshanki,
.
Demak, . (12) ga ko’ra:
(15)
Shunday qilib, birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamaning integrallovchi ko’paytuvchisi (15) ko’rinishida bo’ladi.
2-misol. Ushbu
Differensial tenglama to’liq differensialli emas, chunki:
.
Ammo
.
Demak, bo’ladi. Shuning uchun
yoki deb intergrallovchi ko’paytuvchiga ega bo’lamiz.
Berilgan tenglamani integrallash jarayonini oxiriga yetkazib qo’yamiz. Uni ga ko’paytirib, to’liq differensialli tenglamani hosil qilamiz:
.
Bu tenglama uchun
umumiy yechim bo’ladi.
deylik. (1) differensial tenglama shu ko’rinishda integrallanuvchi ko’paytuvchiga ega bo’lishi shartini chiqaramiz. (11) dan
yoki
(16)
ga egamiz, bu yerda
. (17)
Shunday qilib, agar ifoda (16) ko’rinishida yozilishi mumkin bo’lsa, u holda (1) tenglama ko’rinishda integrallovchi ko’paytuvchiga ega bo’ladi, bunda va funksiyalar (17) formulalar yordamida topiladi:
.
3-misol. Ushbu
differensial tenglama ko’rinishda integrallovchi ko’paytuvchiga ega. Haqiqatan, agar desak,
Bundan
yoki
yoki
.
Demak, .
Berilgan funksiyani ikki tomonini shu funksiyaga ko’aytirsak, o’zgaruvchilari ajraladigan
differensial tenglamaga kelamiz. Uning umumiy integrali
.
4-misol. Ushbu
differensial tenglama integrallansin.
Bu tenglama to’liq differensialli emas, chunki
va
munosabatlardan tengsizlik kelib chiqadi.
Berilgan differensial tenglama ko’rinishdagi integrallovchi ko’paytuvchiga ega, chunki
.
Bundan va .
Demak, integrallovchi ko’paytuvchi ko’rinishga ega ( berilgan tenglamani bo’lganda to’liq differensialliga keltirib, so’ngra uni integrallab qo’yamiz ).
Misollar ishlanayotganda ba’zi xollarda integrallovchi ko’paytuvchi
va boshqa ko’rinishlarda izlanishi mumkin.
(1) differensial tenglamada va funksiyalar sohada aniqlangan, differensiallanuvchi va – tartibli bir jinsli bo’lsin. U holda (1) tenglama
(18)
ko’rinishda integrallovchi ko’paytuvchiga ega. Haqiqatan,
va
.
Agar desak, yoki
.
Bundan integrallovchi ko’paytuvchi uchun
formula kelib chiqadi.
6-teoremaga ko’ra, (1) differensial tenglamaning ixtiyoriy integrallovchi ko’paytuvchisi formula bilan yozilishi mumkin. Bu formula integrallovchi ko’paytuvchini toppish uchun avvalgi bo’limlarda bayon etilgan usullardan farq qiladigan usulni qo’llashga olib keladi. Yangi usul quyidagidan iborat: (1) tenglamani shartli ravishda ikkiga bo’lamiz:
,
bunda . So’ngra ushbu
tenglamalarni ko’ramiz. Albatta, bu differensial tenglamalar uchun integrallovchi ko’paytuvchini nisbatan osonlik bilan topa olamiz, deb hisoblaymiz. Tegishli tenglamalarning integrallovchi ko’paytuvchilarni mos ravishda va , integrallarini esa va deylik. U holda yuqoridagi formulaga asosan har bir differensial tenglama uchun ixtiyoriy integrallovchi ko’paytuvchini
ko’rinishda yozish mumkin. va larning ixtiyoriyligidan foydalanib, ularni shunday tanlaymizki, ushbu
munosabat o’rinli bo’lsin. U holda funksiya berilgan (1) differensial tenglama uchun integrallovchi ko’paytuvchi bo’ladi. Amalda yoki funksiyani ga teng qilib olish mumkin.
5-misol. Ushbu differensial tenglamaning integrallovchi ko’paytuvchisi topilsin.
Bu tenglamani
ko’rinishida yozish mumkin. Undan
tenglama uchun ekanini c) bo’limdagi usul bilan isbotlash mumkin. Endi bo’lishi uchun desak,
kelib chiqadi. Demak, funksiya berilgan differensial tenglama uchun integrallovchi ko’paytuvchi bo’ladi.
Xulosa
Xulosa o’rnida shuni aytish joizki, ushbu kurs ishida “To’la differensial tenglama va integrallovchi ko’paytuvchi” haqida fikr yuritilgan bo’lib, mavzuga doir bir qator ma’lumotlar keltirilgan. Mazkur kurs ishini yozish davomida to’liq differensial tenglama va integrallovchi ko’paytuvchi haqida bilimlarimni oshirdim va mustahkamladim. Buning uchun bir qancha kitoblarni izlab, ulardan mavzuga doir ma’lumotlarni qidirdim. Albatta, bu ishlar bir muncha qiyinchiliklarni keltirib chiqardi. Kurs ishini yozish bilan bir qatorda oddiy differensial tenglamalar fanidan bilimlarimni oshirdim va shu bilan bir qatorda ushbu fandan o’qiydigan kitoblarim sonini ham ko’paytirdim.
Mazkur kurs ishi oddiy differensial tenglamalar fanini chuqurroq o’rganishga yordam beribgina qolmay, bundan keyin mavzularni o’rganishda qulaylik ham tug’diradi. Misollar yechish jaronida tenglamani to’liq differensial tenglamaga keltirib olish biz uchun misolni osonroq chiqishi imkoniyatini beradi. Buning uchun esa integrallovchi ko’paytuvchi yordam beradi. Kurs ishini yozish davomida bir qancha misollar ham ishlab ko’rsatildi. Bu esa mavzuni yanada yaxshiroq o’zlashtirishga yordam beradi.
Do'stlaringiz bilan baham: |