Kurs ishi mavzu: To’la differensial tenglama va integrallovchi ko’paytuvchi Bajardi

1-ta’rif. Agar (1) tenglamaning chap tomoni biror , funksiyaning to’liq differensialidan iborat bo’lsa, u holda (1) to’liq differensialli tenglama deyiladi.
Agar (1) to’liq differensialli bo’lsa, u holda (1) tenglamaning ( aniqrog’i, , tenglamaning ) har biri yechimi uchun ayniyat o’rinli. Aksincha, biror intervalda aniqlangan va
(2)
tenglamadan oshkormas funksiya sifatida aniqlanadigan har bir funksiya (1) tenglamaning yechimi bo’ladi. Haqiqatan, (1) tenglamaning intervalda aniqlangan yechimi bo’lsin.
Bunda quyidagiga ega bo’lamiz:
yoki
Bundan ekani kelib chiqadi. Endi funksiya tenglamaning yechimi bo’lsin, ya’ni . Buni bo’yicha differensiallab tapamiz:


.
Bundan funksiya (1) tenglamaning yechimi ekani kelib chiqadi. Yuqoridagi (1) tenglamaning chap tomoni funksiyaning to’liq differensialidan iborat bo’lganda munosabat (1) ning umumiy yechimi (umumiy integrali). funksiya esa (1) ning integrali deyiladi. Ammo har doim ham
(3)
munosabat o’rinli bo’lavermaydi.
1-teorema. Agar bir bog’lamli sohada funksiyalar aniqlangan bo’lib, shu sohada funksiyalar uzluksiz hamda shu da bo’lsa, u holda (1) differensial tenglama to’liq differensialli bo’lishi uchun
(4)
ayniyat o’rinli bo’lishi zarur ham yetarli.
Ilova. Agar sohada hamma nuqtalari bilan joylashgan, o’zaro kesishmaydigan ixtiyoriy yopiq siniq chiziqning barcha ichki nuqtalari ham shu sohaga tegishli bo’lsa, soha bir bog’lamli deyiladi. Bir boglamli soha albatta bog’langan soha bo’ladi, ammo har bir bog’langan sohaning har biri bo’lamli bo’lavermaydi.
(4) shartni L. Eyler (1707 – 1783) topgan.
Isbot. Zarurligi. (1) tenglama to’liq differensialli bo’lsin. U holda sohada aniqlangan biror funksiya uchun (3) tenglama o’rinli bo’ladi.
Shuning uchun:
.
Teoremaning shartiga ko’ra

tengliklardan sohada (4) ayniyatni to’g’riligi kelib chiqadi.