Kurs ishi bajardi: Matematika

Sferik sirt
Ma’lumki fazoda markaz deb ataluvchi O (x₁, y₁, z₁) nuqtadan bir xil uzoqlikda joylashgan nuqtalarning geometrik o’rni sfera deb ataladi.Markazdan sferagacha bo’lgan masofa uning radiusi deyiladi. Ta’rifga ko’ra O (x₁, y₁, z₁) nuqtadan sfera ustidagi ixtiyoriy M (x, y, z) nuqtagacha bo’lgan masofa R radiusi bo’lib, u quyidagicha hisoblanadi:. yoki
(x-x₁)²+(y-y₁)²+(z-z₁)²=R²(1)
Endi (1) tenglamada qavslarni ochamiz
x+y+z-2x₁x-2y₁y-2 z₁z+x₁₂+y₁₂+z₁₂-R²=0.
Bu x, y, z koordinatalarga nisbatan ikkinchi darajali tenglamadan iborat.
Misol 1.
x²+y²+z²-2x+4y+6z-2=0 tenglama sfera tenglamasi ekanligini isbotlang. Uning markazi va radiusini toping.
Yechish. Berilgan tenglamaning chap tomonini quyidagicha shakl almashtiramiz: (x²-2x+1)+(y²+4y+4)+(z²+6z+9)-14-2=0 yoki (x-1)²+(y+2)²+(z+3)²=16. Bu esa markazi O (1; -2; -3) nuqtada, radiusi esa R=4 ga teng bo’lgan sfera tenglamasidir.
Misol 2.
2x²+2y²+2z²-2x+4y+2z+5=0 sferaning markazi va radiusi topilsin.
Yechish.Tenglamadan:
x²+y²+z²-x+2y+z+5/2=0
x²-x+1/4 -1/4+y²+2y+1-1+z²+z+1/4-1/4+5/2=0
(x-1/2)²+(y+1)²+(z+1/2)²-1=0
Demak sferaning markazi (1/2, -1, -1/2) nuqtada, radiusi esa 1 ga teng.
Ikkinchi tartibli slindrik va konus sirtlar
Biror tekislikda ikkinchi tartibli chiziq hamda shu tekislikka parallel bo`lmagan to`g`ri chiziq berilgan bo`lsin.
Ta`rif-1. to`g`ri chiziqqa parallel va chiziq bilan kesishuvchi fazodagi barcha to`g`ri chiziqlar to`plami ikkinchi tartibli silindrik sirt deb ataladi.
Ta`rifda qatnashayotgan ` chiziq shu silindrik sirtning yo`naltiruvchisi, to`g`ri chiziqlar esa uning yasovchilarideyiladi.
Ta`rifdan foydalanib, affin koordinatalar sisremasida silindrik sirt tenglamasini keltirib chiqaraylik. Soddalik uchun, yo`naltiruvchi chiziqni tekislikda olamiz:
(1)
to`g`ri chiziqning yo`naltiruvchi vektori (1-rasm).

1-rasm
Ixtiyoriy nuqtani olamiz. Shu nuqtadan o`tgan yasovchining tekislik bilan kesishgan nuqtasi bo`lsin. U holda va , ya`ni . Bundan: , ( ) dan ni topib, oldingi ikki tenglikka qo`yamiz
(2)
Ammo , demak
(3)
Shunday qilib, (3) tenglama silindrik sirt tenglamasi.
Demak, yo`naltiruvchisi ko`rinishdagi tenglama bilan berilgan, yasovchilari esa vektorga parallel silindrik sirt tenglamasini hosil qilish uchun (1) dagi o`rniga mos ravishda, ifodalarni qo`yish kerak ekan. dan iborat xususiy holda va (3) tenglama ushbu ko`rinishni oladi:

Demak yasovchilari o`qqa parallel silindrik sirt tenglamasi yo`naltiruvchi tenglamasining o`zginasidir.
Masalan, tekislikda ellips tenglamasi bilan berilgan bo`lsa, bu tenglama fazoda yasovchilari o`qqa parallel silindrik sirtdan iborat.
Ikkinchi tartibli silindrning yo`naltiruvchilari: ellips, giperbola, parabola, ikkita kesishuvchi to`g`ri chiziq, ikkita o`zaro parallel (ustma-ust tushmagan) to`g`ri chiziqlardan iborat bo`lishi mumkin. Yo`naltiruvchilari shu chiziqlardan iborat ikkinchi tartibli silindrik sirtlar mos ravishda elliptik silindr, giperbolik silindr, parabolik silindr, ikkita kesishuvchi tekislik, ikkita o`zaro parallel tekislik (ustma-ust tushmagan) deb yuritiladi (oxirgi ikkitasi ba`zan aynigan silindr deb ham yuritiladi).