Kurs ishi bajardi: Matematika

Ellipsoid
Ta’rif. Fazodagi dekart koordinatlar sistemasida
(1)
tenglamani qanoatlantiruvchi barcha nuqtalar to’plamidan hosil bo’lgan sirt ellipsoid deb ataladi, bunda a,b,c sonlar uning yarim o’qlari deyiladi.
(1) tenglama bilan berilgan ellipsoidning shakilini va ba’zan geometrik hossalarni aniqlaylik.
1. (1) tenglama ikkinchi tartibli algebrik tenglama bo’lgani uchun ellipsoid ikkinchi tartibli sirtdir.
2. (1) tenglamaga e’tibor bersak, uchta musbat sonning yig’indisi birga tengdir, bundan

yoki

Bunlardan:
(2)
Ellipsoid chegaralangan sirt bo’lib, qirralari 2a,2c, 2b to’g’iri burchakli paralilliped ichiga joylashgan figuradan iboratdir.
3. (1) va (2)formulalardan ko’rinib turibdiki, agar qo’shiluvchilardan birortasi birga teng bo’lsa, qolgan ikkitasi nol bo’lishi kerak. Masalan: bo’lganda bo’lib, va ellipsoid (Ox) o’qini nuqtalar kesib o’tadi.
Xuddi shunga o’xshash, bu ellipsoid Oy o’qini nuqtalarda Oz o’qini nuqtalarda kesib o’tadi. Bu nuqtalarga ellipsoidning uchlari deb ataladi.
4. Ellipsoidni koordinata tekisliklari bilan kesilganda kesimda hosil bo’ladigan chiziqlarni aniqlaymiz:
a)ellipsoidni Oxy tekislik bilan kessak. Bu holda ya’ni Oxy tekislikdagi ellips hosil bo’ladi;
b) OXZ (y=0) tekislik bilan kessak ellips hosil bo’ladi.
v) OXZ (x=0) tekislik bilan kessak ellips hosil bo’ladi.
Ellipsoidni koordinata teksliklarga parallel tekisliklar bilan kesilganda kesimda hosil bo’ladigan chiziqlarni aniqlaymiz.
Ellipsoidni OXY tekislikka parallel bo’lgan z=h tekislik bilan kessak tenglamasi quyidagicha bo’lgan egri chiziq hosil bo’ladi. Bu yerda uch hol bo’lishi mukin:
a) bo’lsa, bo’lib, tenglamaga ega bo’lamiz,bu esa markazi (0;0;h) nuqtada va z=h tekislikda yotuvchi ellipsdan iboradir;
b) h=c yoki h=-c bo’lsa, bo’lib, bus hart faqatgina x=0, y=0 bo’lgandagina bajariladi, demak, z=c tekislik bu holda ellipsoid bilan (0;0;c) nuqtada, z=-c tekislik esa (0;0;-c) nuqtada kesishadi. Bu tekisliklar ellipsoidga shu nuqtalarda mos ravishda urinma tekislik bo’ladilar; yoki bo’lsa, u holda bo’lib, ning o’ng tomonida manfiy son hosil bo’ladi, chap tomoni esa doimo musbat, demak musbat z-c yoki tekisliklar ellipsoid bilan kesishmaydi. Ellipsoidni boshqa koordinata tekisliklariga parallel x=h, y=h tekisliklar bilan kesishsa, hosil bo’lgan kesimlarni yuqoridagi kabi aniqlash mumkin, biz uni o’quvchiga havola qilamiz.
Agar nuqta ellipsoidga tegishli bo’lsa, nuqta ham unga tegishli bo’ladi, bundan ko’rinaiki, ellipsoid koordinatalar boshiga nisbatan simmetrik joylashgan. Xususiy holda bo’lsa, aylanma ellipsoid hosil bo’ladi.
Agar a=b=c bo’lsa, bo’lib, markazi koordinatalar boshida va radiusi a ga teng sifera hosil bo’ldi, shaklida ellipsoid uch o’qli deyiladi.
Misol: O’qlari dekart koordinata o’qlarida joylashgan va M (1;2;3) nuqtadan o’yib, Oxy tekislik bilan ellips bo’yicha kesishuvchi ellipsoid tenglamasini tuzing.
Yechish: Izlanilayotgan tenglama ko’rinishda bo’lib, a,b, c larni topish kifoya. Masala shartiga ko’ra, z=0 da ellips bilan solishtirib, larni topamiz. M(1;0;3) nuqta izlanilayotgan tekislikka tegishli bo’lgani uchun . Demak, izlanilayotgan tenglama quyidagicha bo’ladi: .