Kroneker-Kapelli teoremasi

Iqtisodiy matematika fanidan mustaqil ish. Talaba:Azizbek Mamaroziqov O’qituvchi: Suyarov Tursunbek

MAVZU: Kroneker-Kapelli teoremasi.  Bir jinsli tenglamalar sistemasi. Fundamental yechimlar.

Kroneker-Kapelli teoremasi

Teorema: Kroneker – Kapelli teoremasi Chiziqli tenglamalr sistemasini kengaytirilgan matrisasi bilan asosiy matrisasining ranglari bo’lganda va faqat shu holdagina birgalikda bo’ladi. Isbot. Birgalikda bo’lib, (1) ning qandaydir yechimlari bo’lsin. U holda (1) ning ozod hadlaridan tuzilgan vektor matrisaning ustunlaridan tuzilgan har bir ustunlaridan tuzilgan vektorlar sistemasining chiziqli kombinasiyasidan iborat bo’ladi va demak vektorlar sistemalarining ranglari teng, ya’ni, Endi faraz qilaylik.

U holda lemmaga asosan martisaning oxirgi ustunidagi tuzilgan vektor, uning qolgan ustunlaridan tuzilgan, ya’ni matrisaning ustunlaridan tuzilgan vektorlar sistemasining chiziqli kombinasiyasidan iborat bo’ladi, ya’ni tenglik o’rinli bo’ladi. Bu o’z navbatida ayniy tengliklar sistemasiga tengkuchlidir va demaklar (2) sistemaning yechimi bo’lib, bu tenglamalar sistemasi birgalikda.

Biz teoremadan quyidagi natijalarni olamiz: Natija: Agar A=1 bo’lsa, u holda (1) tenglamalar sistemasi birgalikda aniq bo’ladi. Natija: Agar A=0 bo’lsa, u holda (1) tenglamalar sistemasi birgalikda bo’lmaydi. Bu teorema va natijalarni amalda tatbiq qilishda eng avvalam bor matrisani rangini hisoblash va agarda bo’lib, bu rangni aniqlovchi noldan farqli tartibi ga teng minor bo’lsa, so’ngra matrisaning ni xoshiyalovchi chiziq da bo’lmagan xarakteristik minorlari (determinanti) deb ataluvchi barcha minorlarini hisoblash kerak. Agar ularning barchasi nolga teng bulsa,u xolda va shu sababli (1) sistemani birgalikda buladi, aks xolda u birgalikda bulmaydi.

Tenglamalar sistemasini birgalikda bulishligi xakida teorema nuktai nazaridan takomillashgan teoremalardan xisoblanadi, lekin yechimda sistemalarning yechimlarini topish uchun xej kanday usul bermaydi. Shuning uchun biz bu masalani yechish bilan shugulanamiz. Faraz kilaylik sistema birgalikda bulib, aniklovchi minor (bu minorlar bir nechta bulishi mumkin) bulsin. Koeffisiyentlari shu minorni beruvchi ta noma’lumlar tenglamani chap tomoniga koldirib, koeffisiyentlari bu minorga kirishgan tenglamalrni tashlab yuboramiz. Bundan tashkari kolgan noma’lumlarini tenglamaning ung tomoniga utkazib, ularni ozod uzgaruvchilar sifatida kabul kilamiz. Natijada biz (1) sistemaga ekvivalent (teng kuchli) bulgan ta noma’lumni ta tenglamalr sistemasi xosil kilib, bu tenglamalar sistemasining asosiy determinanti noldan farkli minordan iborat buladi. Xosil bulgan tenglamalar sistemasiga Kramer koidasini kullab, noma’lumlarni topamiz va natijada ozod uzgaruvchining xar bir kiymatlarida ta noma’lumlar topiladi va ular birgalikda (1) sistemaning yechimi buladi.

 Natijada biz (1) sistemaga ekvivalent (teng kuchli) bulgan 2ta noma’lumni 1ta tenglamalar sistemasi xosil kilib, bu tenglamalar sistemasining asosiy determinanti noldan farkli minordan iborat buladi. Xosil bo’lgan tenglamalar sistemasiga Kramer qoidasini qo’llab, noma’lumlarni topamiz va natijada ozod o’zgaruvchining xar bir kiymatlarida 2ta noma’lumlar topiladi va ular birgalikda (1) sistemaning yechimi buladi.

Kroneker-Kapelli teoremasi

Kroneker-Kapelli teoremasi

Kroneker-Kapelli teoremasi

Kroneker-Kapelli teoremasi

Kroneker-Kapelli teoremasi

Kroneker-Kapelli teoremasi

E’TIBOR UCHUN TASHAKKUR