Koshi masalasi yechimining mavjudligi va yagonaligi

Misol-1. Ushbu

Koshi masalasi yechimining qiymatini toping.
Yechish. Avvalo bo’lgan holda

masalaning yechimini topamiz. So’ngra tenglikdan

munosabatlarni aniqlaymiz. Endi yuqoridagi munosabatlardan foydalanib quyidagi

differensial tenglamani tuzib olamiz:

Bu tenglamada y o’rniga ni qo’yib quyidagi

masalani hosil qilamiz. Bu yerda deb ushbu

masalaning yechimini topamiz:

Bu funksiya biz izlayotgan qiymatni beradi.
Ikkinchi tomondan berilgan tenglama o’zgaruvchilarga ajraladigan differensial tenglama bo’lgani uchun, uning yechimini topish mumkin:

Agar ni quyidagi

ko’rinishda yozsak, u holda

hosil bo’ladi.
Yuqoridagi teorema-1 da bayon qilingan tasdiqni quyidagicha umumlashtirish mumkin.
Teorema-3. Agar funksiya P sohada Koshi teoremasining shartlarini qanoatlantirib, o’zgaruvchilar bo’yicha marta differensiallanuvchi bo’lsa, u holda (4.1) masalaning yechimi o’zgaruvchilar bo’yicha differensiallanuvchi bo’lib, o’zgaruvchi bo’yicha m marta differensiallanuvchi bo’ladi. Bundan tashqari yechimni ning darajalari bo’yicha Teylor formulasiga yoyish mumkin:
(4.19)