Корянов А. Г., Прокофьев А. А. Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней 25. 12. 2011

220. 





2

)

3

2

,

0

sin

2

(

x

 

2

1

2

,

0

sin

2

2

,

0

sin

2









x

x

. 

221. 

0

sin

5

|

sin

|

4

cos

3

|

cos

|

2









x

x

x

x

. 

222. 

0

sin

3

|

sin

|

5

cos

6

|

cos

|

4









x

x

x

x

. 

2.6. Системы уравнений 

Пример  86.  (ЕГЭ  2010,  С1).  Решить 

систему уравнений 













































.

0

cos

2

5

tg

3

,

0

49

7

1

14

49

1

tg

tg

x

x

y

x

x

 

Решение.  Заметим,  что  левая  часть 

первого  уравнения  системы  представляет 

полный квадрат: 































49

7

1

14

49

1

tg

tg

x

x

2

tg

tg

2tg

7

7

1

49

7

1

14

7

1































































x

x

x

. 

Равенство 

нулю 

возможно, 

если 

0

7

7

1

tg

















x

,  т.е. 

7

7

tg





x

.  Отсюда  по-

лучаем 

1

tg





x

.  Тогда 

,

4

n

x











 

Z



n

. 

Рассмотрим  второе  уравнение  систе-

мы.  Запишем  его  в  виде 

x

x

y

tg

3

cos

2

5



. 

Так  как  правая  часть 

этого 

уравнения 

должна  быть  неот-

рицательна  и,  учи-

тывая,  что 

1

tg





x

, 

получаем, 

что 

0

cos 

x

  (см.  рис. 

28). Тогда из множе-

ства 

решений 

,

4

n

x











 

где 

Z



n

,  выбираем  значения,  лежащие  во 

второй  четверти,  т.е. 

,

2

4

3

n

x









  где 

Z



n

.  

В 

этом 

случае 

2

2

cos





x

 

и 

3

5

)

1

(

3

2

2

2

5

























y

. Отсюда 

9

25



y

. 

O

















 

Рис. 28 

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней

 

25.12.2011 

www.alexlarin.net

 

47 

Ответ

.

 



















9

25

,

2

4

3

n

, 

Z



n

. 

Пример  87.  Решить  систему  уравне-

ний  





















.

0

cos

,

0

1

sin

3

sin

2

2

x

y

y

x

x

 

Решение.  Из  первого  уравнения  сис-

темы  следует 

0

1

sin

3

sin

2

2







x

x

  и 

0



y

.  Пусть 

t

x 

sin

,  где 

1

1







t

.  Из 

уравнения   

0

1

3

2

2





 t

t

  получаем  кор-

ни  

,

1

1



t

 

2

1

2



t

, которые удовлетворяют 

условию 

1

1







t

. 

а) Если 

1

sin



x

, то 

0

cos 

x

 и из вто-

рого  уравнения  системы  имеем 

0



y

. 

Это  значение  не  удовлетворяет  условию 

0



y

. 

б)  Пусть 

2

1

sin



x

,  тогда  из  тождества 

1

cos

sin

2

2





x

x

  получаем 

2

3

cos 

x

  и 

2

3

cos





x

. 

Отсюда 

2

3



y

 

или 

2

3





y

  (не  удовлетворяет  условию 

0



y

). 

Из 

уравнения 

2

1

sin



x

 

имеем 

,

2

6

n

x









 

.

Z



n

  Таким  образом,  ис-

ходная 

система 

имеет 

решения 

.

2

3

,

,

2

6













y

n

n

x

Z

 

Ответ: 

.

2

3

,

,

2

6













y

n

n

x

Z

 

Тренировочные упражнения 

Решите систему уравнений: 

223. 























.

sin

,

0

cos

3

5

2

2

x

y

y

x

x

 

224. 





















.

0

3

cos

4

cos

4

,

0

sin

2

3

2

y

y

y

x

 

225. 

















.

sin

2

2

,

cos

2

cos

2

y

x

x

y

y

 

226. 























.

2

cos

,

0

16

2

10

4

y

x

y

y

 

227. 























.

0

sin

2

,

0

16

4

10

16

cos

cos

x

y

x

x

 

Ответы 

3.  а) 

Z











n

n

n

,

6

)

1

(

;  б) 

6



; 

;

6

5

  

в) 

6

7



; 

6



; г) 

6



; 

6

5

; 

6

13

; 

.

6

17

 

4.  а) 

Z











n

n,

2

3

2

;  б) 

3

2

;  в) 

3

4



; 

3

2



;  г) 

3

2

; 

3

4



;

3

2



; 

3

2

; 

3

4

; 

3

8

.  

5. а) 

Z











n

n,

2

3

2

; б) 

3

2

. 

6.  а) 

Z











n

n

n

,

3

12

)

1

(

; б) 

12



; 

4



; 

4

3

; 

12

11

; 

12

17

; 

12

19

.  7.  а) 

Z











n

n,

12

;  

б) 

12





; 

12

11



; 

12



; 

12

11

.  8.  а) 

,

2

3

n







 

Z



n

;  б) 

3

5



; 

3



; 

3

7

.  9. 

,

2

4

n









 

Z



n

 10. 

.

,

2

3

2

Z









n

n

 11. а) 

,

3

9

n







 

Z



n

;  б) 

9

4

; 

9

7

.  12. 

,

6

2

3

n







 

,

6

2

7







 

.

Z



n

  13. 

.

2

3

  14. 

.

3





  15. 

;

30

19

1



 

;

30

19



 

.

30

11

 16. 

8

7



, 

4

3



, 

8

3



, 

4





, 

8



, 

4



, 

8

5

, 

4

3

.  17. 

9

17



, 

3

5



, 

9

11



, 



 , 

9

5



, 

3





, 

9



, 

3



, 

9

7

.  18. 

4

7



, 

4

3



, 

4





, 

4

3

, 

4

5

.  19.  0; 

9

5



. 

20. 

24

25



, 

24

35

.  21. 

,

2

6

5

4

n













 

Z



n

.  22. 

,

2

4

3

n













 

Z



n

.  23.  а) 

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней

 

25.12.2011 

www.alexlarin.net

 

48 

,

4

24

n









 

Z



n

;  б) 

24

7



; 

24





; 

24

5

; 

24

11

.  24.  0; 

3



; 

3

2

; 

 .  25. 

6



; 

3

2

; 

6

7

; 

3

5

. 26. 

12



; 

12

7

; 

12

13

. 27. 



 2

; 

3

4



; 0; 

3

2

; 



2

; 

3

8

.  

28. 

2

3



; 

6





; 

2



; 

6

11

; 

2

5

; 

6

23

.  

29. 

.

,

2

3

)

1

(

Z











n

n

n

  

30.  

,

6

)

1

(

1

n

n











 

.

Z



n

  

31. 

n

n









2

5

1

arcsin

)

1

(

1

, 

Z



n

. 

32. 

.

,

,

3

1

arctg

;

2

arctg

Z













k

n

k

n

 

33. 

.

,

,

arctg3

,

4

Z













k

n

k

n

 

34. 

.

,

,

arctg3

,

4

Z















k

n

k

n

 

35. 

.

,

,

3

2

arctg

,

4

Z













k

n

k

n

 

36. 

.

,

,

4

3

arctg

,

4

Z















k

n

k

n

 

37. 

,

2

2

arctg

2

,

2

2

n

k













 

.

,

Z



n

k

 

38. 

Z











n

n,

2

4

. 

39. 

,

2

3

2

k







 

,

2

3

2

n









 

Z



n

k,

.  Отрезку 

]

2

;

[







 

принадлежат  корни: 

,

3

2



 

,

3

2

 

.

3

4

  

40. 

,

2

6

k







 

,

2

6

5

n







 

Z



n

k,

.  Отрезку 

]

2

;

[







  принадлежат  корни: 

,

6



 

.

6

5

  

41. а) 

,

2 k







 

,

2

3

2

n







 

,

2

3

4

m







 

,

, n

k

 

Z



m

; б) 

,



 

,

3

4

 

,

3

8

 

 . 42. а) 

,

4

k









 

,

3

arctg

n





 

Z



n

k,

;  б) 





3

arctg

, 

,

4





 

3

arctg .  43.  а) 

,

arctg2

k







 

,

3

arctg

n







 

Z



n

k,

;  б) 

arctg2







, 

arctg3







.