Коррект масалалар

1. Elliptik tipdagi tenglamalar uchun chegaraviy masalalar.

(1)

(1) tenglama (elliptik tip) uchun chegaraviy masala bunday qo’yiladi; sohada (1) tenglamani va chegarada quyidagi shartlardan bittasini qanoatlantiruvchi funksiya topilsin:

I.

II.

III.

Bu yerda sirtga o’tkazilgan tashqi normal , , , va da berilgan uzluksiz funksiyalar.

Masalalarni qo’yishdan darhol shu narsa ma’lumki I holda funksiya sinfga, II, III hollarda esa sinfga tegishli bo’lishi kerak.

Bu masalardan I ni birinchi chegaraviy masalasi yoki Dirixle masalasi, II ni ikkinchi chegaraviy masala yoki Neyman masalasi, III ni esa uchinchi chegaraviy masala deyiladi.

Yuqorida keltirilgan masalalardan no’malum funksiya sohada izlangani uchun ularni mos ravishda ichki masalalar deb yuritiladi. Xuddi shunga o’xshash, chegaralangan sohaning tashqarisida (tashqi masalalar) chegaraviy masalalar qo’yiladi. Bularning farqi shundaki, dagi chegaraviy shartlardan tashqari, soha cheksiz bo’lgani uchun, cheksiz uzoqlashgan nuqtada ham shart beriladi.

Masalan, bunday shartlar Laplas tenglamasi uchun da

yoki

ko’rinishda bo’lishi mumkin.

Yuqoridagilarga o’xshash sohada berilgan umumiy ikkinchi tartibli chiziqli

(2)

tenglama uchun chegaraviy masalalar qo’yiladi.

sohada (2) tenglamaning

(3)

shartni qanoatlantiruvchi regulyar yechimi topilsin.

Bu yerda va da berilgan funksiyalar; va deganda nuqta sohaning ichidan nuqtasiga intilgandagi bu funksiyalarning limit qiymatlari tushuniladi. (2), (3) masala Puankere masalasi deyiladi.

Barcha da , bo’lgan holda (3) chegaraviy shartni

(4)

ko’rinishda yozib olish mumkin. (80), (81) masala birinchi chegaraviy masala yoki Dirixle masalasi deyiladi.

da bo’lganda, Puankare masalasining hususiy holi

(5)

masala hosil bo’adi. (2), (5) masala qiya hosilali masala deyiladi.

sirtning nuqtasidagi yo’naltiruvchi kosinuslari

bo’lgan birlik vektorni – konormalni orqali belgilaymiz. Bu yerda sirtga nuqtada o’tkazilgan tashqi normal,

Agar (5) chegaraviy shartda barcha da

bo’lsa qiya xosilali masala ikkinchi chegaraviy masala yoki Neyman masalasi deyiladi.