Ko'p o'zgaruvchili funksiyaning uzluksizligi

Uzluksiz funksiyalarning xossalari

Biz quyida ko'p o'zgaruvchili uzluksiz funksiyalarning xossalarini keltiramiz. Bunda bir o’zgaruvchili uzluksiz funksiyalarning xossalari to'g'risida ma'lumot-lardan to'la foydalana boramiz.

Ko'p o'zgaruvchili uzluksiz funksiyalar ham bir o'zgaruvchili uzluksiz
funksiyalarning xossalari kabi xossalarga ega.
1 . Nuqtada uzluksiz bo'lgan funksiyalarning xassalari (lokal xossalari).
f (x) funksiya M (M ) to'plamda berilgan bo'lib. M nuqtada uzluksiz
bo'lsin. Bunday f (x) funksiyaning nuqtaning yetarli kichik atrofi M dagi xossalarini (lokal xossalarini) o'rganamiz.
1) Agar f (x) funksiya M nuqtada uzluksiz bo'lsa, u holda nuqtaning yetarli kichik atrofida funksiya chegaralangan bo'ladi.
Funksiya uzluksizligi ta'rifiga ko'ra

bo'lib, undan funksiyani nuqtada chekli limitga ega ekanligi kelib chiqadi. Chekli limitga ega bo'lgan funksiyaning xossalaridan esa, funksiyani nuqtaning yetarli kichik atrofida chegaralanganligini topamiz.

2) Agar funksiya nuqtada uzluksiz bo'lib,
bo'lsa, nuqtaning yetarli kichik atrofidagi nuqtalarda
bo'ladi.

Funksiya nuqtada uzluksizligi ta'rifiga ko'ra, > 0 olinganda ham shunday > 0 topiladiki, barcha x ( ) nuqtalar uchun

bo'ladi.
Bu yerda = ( ) > 0 (agar ( ) 0 bo'lsa, = ( )) deb olsak, fikrimiz-ning tasdig'iga ega bo'lamiz.

Demak, ( ) funksiya nuqtada uzluksiz va ( ) 0 bo'lsa, x° nuqtaning yetarli kichik atrofidagi x nuqtalarda funksiya qiymatlarining ishorasi ( ) ning ishorasi bilan bir xil bo'lar ekan:

3) Agar funksiya nuqtada uzluksiz bo'lsa, nuqtaning yetarli kichik atrofidagi M , M nuqtalar uchun

tengsizlik o'rinli bo'ladi

funksiyaning nuqtada uzluksizligiga asosan, > 0 olinganda ham ga ko'ra shunday > 0 topiladiki, barcha x ( ) nuqtalar uchun
bo'ladi. Jumladan, ( ), ( ) nuqtalar uchun ham

tengsizliklar o'rinli bo'ladi. Keyingi tengsizliklardan esa

bo'lishi kelib chiqadi.
2°. To'plamda uzluksiz bo'lgan funksiyalarning xassalari (global xossalari). Endi M to'plamda uzluksiz bo'lgan funksiyalarning xossalarini (global
xossalar), aniqrog'i funksiya qiymatlaridan iborat
to'plamning xossalarini o'rganamiz.
17-tearema (Boltsano-Koshining birinchi teoremasi).
funksiya bog'lamli M to'plamda uzluksiz
bo'lsin. Agar bu funksiya to'plamning ikkita ( ) va

= ( ) nuqtasida har xil ishorali qiymatlarga ega bo'lsa, u holda shunday = ( ) M nuqta topiladiki, bu nuqtada funksiya nolga aylanadi:

= ( ) = 0

Aniqlik uchun = ( ) < 0, = ( ) > 0

bo'lsin. M bog'lamli to'plam bo'lgani uchun bu a va b nuqtalarni
birlashtiravchi va M to'plamda yotuvchi siniq chiziq topiladi. Bu siniq chiziq
uchlari bo'lgan nuqtalarda funksiyaning qiymatlarini hisoblab boramiz.
Bunda ikki xol yuz beradi:
1) Siniq chiziq uchlarining birida funksiya nolga aylanadi. Bu holda
siniq chiziqning shu uchini teoremadagi c nuqta deb olinsa, = 0 bo'lib,
teorema isbotlanadi.
2) Siniq chiziq uchlarida funksiya nolga aylanmaydi. Bu holda siniq
chiziqning shunday kesmasi topiladiki, uning uchlarida funksiyaning
qiymatlari har xil ishorali bo'ladi. Siniq chiziqning xuddi shu uchlarining birini
= ( ) bilan, ikkinchi uchini esa = ( ) bilan belgilasak,
unda

( )= ( ) < 0,
( ) = ( ) > 0

bo'ladi. Siniq chiziqning bu kesmasining tenglamasi ushbu

= + ( ),

= + ( ),

…………………..

= + ( )
(0 t < l) ko'rinishda yoziladi.
Agar o'zgaruvchi = ( ) M nuqtani siniq chiziqning shu kesmasi bo'yichagina o'zgaradi deb olinadigan bo'lsa, u holda = ( )
ko'p o'zgaruvchili funksiya quyidagicha