Koordinatalar usuli

2.1. KOORDINATALAR USULI

2.1.1. Koordinata o‘qi

Analitik geometriya – matematikaning bo‘limlaridan biri bo‘lib, bunda geometrik shakllar algebraik usullar yordamida o‘rganiladi. Analitik geometriyaning asosiy usuli koordinatalar usuli hisoblanadi. Koordinatalar usuli XYII asrda fransuz matematigi Rene Dekart tomonidan kiritilgan. Koordinatalar usuli nuqtaning o‘rnini koordinatalar sistemasi hosil qiluvchi koordinata o‘qlariga nisbatan aniqlashga asoslanadi.

Qandaydir o‘q, ya’ni yo‘nalgan to‘g‘ri chiziq berilgan bo‘lsin. O‘qning yo‘nalishini strelka bilan ko‘rsatamiz. O‘qning ko‘rsatilgan yo‘nalishini musbat deb, qarama-qarshi yo‘nalishni manfiy deb hisoblaymiz. Bu o‘qda nuqtani (koordinatalar boshini) va uzunlik birligini (masshtabni) tanlaymiz.

Koordinatalar boshi va masshtab tanlangan hamda sanoqning musbat yo‘nalishi «→» bilan ko‘rsatilgan to‘g‘ri chiziqqa koordinata o‘qi deyiladi.

koordinatalar o‘qining ixtiyoriy nuqtasi bo‘lsin. nuqtaga yo‘nalgan kesmaning (vektorning) uzunligiga teng bo‘lgan haqiqiy sonni mos qo‘yamiz: Agar kesmaning yo‘nalishi o‘q yo‘nalishi bilan bir xil bo‘lsa, nuqta nuqtadan o‘ngda yotadi va musbat bo‘ladi. Agar kesmaning yo‘nalishi o‘q yo‘nalishiga qarama-qarshi bo‘lsa, nuqta nuqtadan chapda yotadi va manfiy bo‘ladi. Agar nuqta nuqta bilan ustma-ust tushsa, nolga teng bo‘ladi. Bunda ga nuqtaning koordinatasi deyiladi. nuqtaning koordinatasi

bilan va koordinata o‘qi bilan belgilanadi (1-shakl).

1-teorema. o‘qning va nuqtalari qanday bo‘lishidan qat’iy nazar yo‘nalgan kesmaning qiymati va uzunligi mos ravishda

, (2.1.1)

(2.1.2)

formulalar bilan ifodalanadi.

Isboti. Ma’lumki, yo‘nalgan kesmaning (vektorning) kооrdinatalari uning охirgi va bоshlang‘ich nuqtalari mos kооrdinatalarining ayirmasiga tеng.

Bundan yo‘nalgan kesma uchun

kelib chiqadi.

Shu kabi, yo‘nalgan kesmaning uzunligi uning moduliga teng bo‘lgani sababli

bo‘ladi.

Misol

Ikkita va nuqta berilgan. Yo‘nalgan kesmaning qiymatini va berilgan nuqtalar orasidagi masofani topamiz. Masalaning shartiga ko‘ra: U holda (2.1.1) va (2.1.2) formulalar bilan topamiz: