Контрольная работа Студент гр. ЗэБ-4-1 Фамилия И. О

t	Факт	a0(t)	a1(t)	Расчет
Отклонение
	Y(t)			Yр(t)	(t)
0	-	180.44	4.0976	-	-
1	192.98	192.22	8.23	184.54	8.44
2	183.00	184.57	-0.32	200.45	-17.45
3	186.05	185.89	0.56	184.25	1.80
4	193.41	192.78	3.97	186.45	6.96
5	208.26	207.22	9.61	196.76	11.50
6	194.29	196.32	-1.44	216.83	-22.54
7	195.06	195.04	-1.35	194.88	0.17
8	212.25	210.58	7.74	193.69	18.56
9	226.45	225.72	11.73	218.33	8.13
10	210.30	212.74	-1.57	237.45	-27.15
11	213.08	212.91	-0.64	211.17	1.91
12	202.71	203.57	-5.33	212.27	-9.57
13	193.69	194.10	-7.56	198.24	-4.55
14	188.19	188.04	-6.75	186.54	1.65
15	174.41	175.03	-10.12	181.29	-6.88
16	179.93	178.58	-2.76	164.91	15.02
17	183.93	183.20	1.22	175.82	8.11
18	194.10	193.23	5.96	184.42	9.68
19	212.42	211.23	12.44	199.19	13.23
20	259.43	256.21	29.97	223.67	35.77
21	246.23	249.83	10.39	286.18	-39.95
22	258.23	258.41	9.42	260.22	-1.99
23	222.63	226.70	-12.73	267.83	-45.20
24	198.04	199.48	-20.53	213.97	-15.93
25	230.53	225.88	4.74	178.94	51.58
26	242.54	241.46	10.58	230.63	11.91
27	278.59	276.20	23.59	252.04	26.55
28	326.99	324.54	36.92	299.78	27.20
29	328.57	331.53	20.80	361.45	-32.89
30	287.42	293.26	-11.00	352.33	-64.90
31	309.77	307.29	2.48	282.26	27.51
32	291.27	292.93	-6.59	309.77	-18.50

При прогнозировании используется модель, построенная на последнем шаге:

y(32+k) = 292.93 - 6.59*k


Анализ остатков и прогноз

Тесты Колмогорова-Смирнова для проверки гипотезы о нормальном распределении остатков.

Результаты анализа остатков для различных моделей:

Для линейной, экспоненциальной и регрессионной моделей не соблюдаются предпосылки МНК, они могут использоваться лишь для предварительного прогноза анализируемого показателя. Модель Брауна характеризуется хорошей точностью и может применяться для краткосрочного прогноза динамики средней цены анализируемой литературы, если есть основания ориентироваться на последние наблюдения..

Прогноз по линейной модели




Прогноз по экспоненциальной модели
Прогноз строится для линеаризованной модели (для Ln(y)), затем пересчитывается на исходные значения y.






Прогноз по модели Брауна




Прогноз по регрессионной модели

Для расчета прогнозных значений уровня цен используется линейный тренд

Далее прогнозные значения уровня цен используются для расчета точечного прогноза средних цен книг по разделу Компьютерная литература.

Модели ARIMA


Построение наиболее популярных моделей ARIMA
p=0, d=1, q=1

Модель содержит незначимый параметр q(1), поэтому далее не рассматривается.


p=0, d=2, q=1





Модель ARIMA(0, 2, 1) не содержит незначимых параметров. Стандартная ошибка прогноза на 1 шаг для модели ARIMA(0, 2, 1) равна 23.20 против 30.97 для линейной модели. При увеличении горизонта прогноза преимущество имеет линейная модель. Стандартная ошибка прогноза на 5 шагов для модели ARIMA(0, 2, 1) равна 61.27 против 31.70 для линейной модели.:
p=0, d=1, q=2

Модель ARIMA(0, 1, 2) содержит незначимые параметры q(1) и q(2), поэтому далее не рассматривается..


p=0, d=2, q=2

Модель ARIMA(0, 2, 2) содержит незначимый параметр q(2) и далее не рассматривается.


p=1, d=1, q=0

Модель ARIMA(1, 1, 0) содержит незначимый параметр p(1) и далее не рассматривается.
p=2, d=1, q=0

Модель ARIMA(2, 1, 0) содержит незначимые параметры p(1) и p(2), поэтому далее не рассматривается.
p=1, d=2, q=0

По точности прогноза модель ARIMA (1, 2, 0) уступает модели ARIMA (0, 2, 1). Стандартная ошибка прогноза на 1 шаг равна 26.50 против 23.20 для модели ARIMA (0, 2, 1) и резко возрастает с увеличением горизонта прогноза.

p=1, d=1, q=1







Модель ARIMA (1, 1, 1) не содержит незначимых параметров. По точности прогноза она превосходит все рассмотренные ранее модели ARIMA. Стандартная ошибка прогноза на 1 шаг равна 21.36 против 23.20 для модели ARIMA (0, 2, 1) и 30.97 - для линейной модели.


p=1, d=1, q=1

Модель ARIMA (1, 2, 1) содержит незначимый параметр p(1) и далее не рассматривается..
Вывод:
По точности кратковременного прогноза (на 1 - 2 шага) полученные модели ARIMA конкурентноспособны по сравнению с линейной и другими рассмотренными ранее моделями временных рядов. Их целесообразно использовать, когда есть основания считать более значимыми последние наблюдения временного ряда. Из 9 рассмотренных моделей ARIMA лучшей является модель ARIMA (1, 1, 1). Она не содержат незначимых параметров, ей соответствует наименьшее по сравнению с другими рассмотренными моделями значение стандартной ошибки прогноза 1-го шага: 21.36 против 23.20 для модели ARIMA (0, 2, 1) и 30.97 - для линейной модели.


Построение регрессионной модели временного ряда


Метод отклонений от тренда


Наличие высокой автокорреляции в остатках для обоих временных рядов не позволяет применить метод отклонений от трендов.


Метод последовательных разностей

y_t = y_t – y_t-1

x_t = x_t – x_t-1

Метод первых разностей не позволяет получить адекватную модель


Включение в модель регрессии фактора времени

Наличие высокой коллинеарности между факторами не позволяет рекомендовать данную модель для практического применения..


Построение регрессионной модели временного ряда
Регрессия по уровню цен
y_t = a + b*x_t + _t

Коэффициент автокорреляции 1-го порядка для ряда остатков 0.7563

Имеет место высокая автокорреляция в остатках. .

Проверка коинтеграции временных рядов

Критерий Энгеля-Грангера

 _t = a + b* _t-1,

где  _t - первые разности остатков

Фактическое значение t-критерия 2.035

Критическое значение t-критерия 1.944
Гипотеза об отсутствии коинтеграции между анализируемыми рядами отклоняется.
Критерий Дарбина-Уотсона (приближенная формула):
d = 2*(1 - r₁^

Фактическое значение d-критерия 0.487

Критическое значение d-критерия 0.386
Гипотеза об отсутствии коинтеграции временных рядов отклоняется .

Вследствие коинтеграции между рассматриваемыми временными рядами следует построить модель регрессии по фактору Уровень цен и в связи с автокорреляцией в остатках применить ОМНК для ее корректировки. .

Регрессия по курсу доллара

Коэффициент автокорреляции 1-го порядка для ряда остатков 0.7248

Имеет место высокая автокорреляция в остатках. .

Проверка коинтеграции временных рядов

Критерий Энгеля-Грангера

Фактическое значение t-критерия 2.054

Критическое значение t-критерия 1.944
Гипотеза об отсутствии коинтеграции между анализируемыми рядами отклоняется.
Критерий Дарбина-Уотсона (приближенная формула):

Фактическое значение d-критерия 0.550

Критическое значение d-критерия 0.386
Гипотеза об отсутствии коинтеграции временных рядов отклоняется .

Вследствие коинтеграции между рассматриваемыми временными рядами следует построить модель регрессии по фактору Курс доллара и в связи с автокорреляцией в остатках применить ОМНК для ее корректировки. .

Регрессия по курсу евро

Коэффициент автокорреляции 1-го порядка для ряда остатков 0.8536
Имеет место высокая автокорреляция в остатках. .
Проверка коинтеграции временных рядов

Критерий Энгеля-Грангера

Фактическое значение t-критерия 1.319

Критическое значение t-критерия 1.944
Гипотеза об отсутствии коинтеграции между анализируемыми рядами не отклоняется.
Критерий Дарбина-Уотсона (приближенная формула):

Фактическое значение d-критерия 0.2928

Критическое значение d-критерия 0.386
Гипотеза об отсутствии коинтеграции временных рядов отклоняется .

Ввиду отсутствия коинтеграции между рассматриваемыми временными рядами и незначимости свободного члена в исходной регрессии построение модели регрессии по фактору курс евро нецелесообразно. .

Построение регрессионной модели временного ряда с использованием ОМНК




Параметр a’ = -59.039 Параметр a = -242.31
Коэффициент регрессии b = 3.994

Предсказанные значения и остатки для скорректированной модели

Коэффициент автокорреляции 1-го порядка для ряда остатков скорректированной модели равен 0.7581 (на предыдущей итерации 0.7563). На очередной итерации получено значение коэффициента автокорреляции остатков, близкое к значению в предыдущей итерации. Принимается модель, полученная на предыдущей итерации:

Исходная модель: Скорректированная модель

:Стандартная ошибка коэффициента регрессии для скорректированной модели, равная 1.806, почти в 3 раза превышает полученное ранее значение 0.628 для исходной модели и более обоснованно характеризует уровень значимости фактора Уровень цен
(t-статистика равна 2.212 против 5.667 для исходной модели).
Матричная версия ОМНК

На очередной итерации получено значение коэффициента автокорреляции остатков, близкое к значению в предыдущей итерации. Принимается модель, полученная на предыдущей итерации:

Стандартная ошибка коэффициента регрессии для скорректированной модели, равная 1.2861, в 2 раза превышает полученное ранее значение для исходной модели (0.628).

Линейная модель регрессии по фактору времени, скорректированная ОМНК, получена в виде:

Стандартная ошибка коэффициента регрессии для скорректированной модели, равная 1.1145, в 2 раза превышает полученное ранее значение для исходной модели (0.5575).
Сводная таблица результатов моделирования среднемесячных цен книг
по разделу “Компьютерная литература” за период
с марта 2002 г. по октябрь 2004 г.





Выводы:

1. 
   Для среднесрочного прогноза следует использовать линейную модель регрессии по фактору времени, скорректированную ОМНК.
   
2. 
   Если имеется возможность достоверно прогнозировать рост потребительских цен, то вместо линейной модели следует использовать регрессионную по фактору “Уровень цен” (также скорректированную ОМНК).
   
3. 
   Для краткосрочного прогноза на 1 - 2 месяца следует использовать модель ARIMA(1, 1, 1).
   
4. 
   Если имеется возможность обоснованно установить расчетную величину коэффициента дисконтирования данных наблюдений, то для краткосрочного и среднесрочного прогноза можно использовать модель Брауна.
   

На очередной итерации получено значение коэффициента автокорреляции остатков, близкое к значению в предыдущей итерации. Принимается модель, полученная на предыдущей итерации:

Стандартная ошибка коэффициента регрессии для скорректированной модели, равная 0.6742, на 20% превышает полученное ранее значение для исходной модели.