Контрольная работа по высшей математике №2

Найти радиус сферы с центром в точке 
)
3
;
2
;
1
(
−
−
C
, если она касается плоскости 
0
10
2
2
=
+
+
−
z
y
x
 
Решение: Радиус сферы с центром в точке С равен расстоянию от точки С до плоскости 
0
10
2
2
=
+
+
−
z
y
x
2
2
2
1
1
1
C
B
A
D
Cz
By
Ax
d
R
+
+
+
+
+
=
=
. Из уравнения плоскости 
0
10
2
2
=
+
+
−
z
y
x
имеем:
10
,
1
,
2
,
2
=
=
−
=
=
D
C
B
A
. 

---

7 
4 
1 
1 
3 
Координаты точки С: 
3
,
2
,
1
1
1
1
=
−
=
−
=
z
y
x
, получим: 
5
1
)
2
(
2
10
3
1
)
2
(
)
2
(
)
1
(
2
2
2
2
=
+
−
+
+

+
−

−
+
−

=
R
Ответ: R=5 
8. 
Дана кривая 
0
37
18
32
9
4
2
2
=
+
−
−
+
y
x
y
x
. 
1)
 
Доказать, что эта кривая – эллипс. 
2)
 
Найти координаты его симметрии. 
3)
 
Найти его большую и малую полуоси. 
4)
 
Записать уравнение фокальной оси. 
5)
Построить данную кривую
. 
Решение: преобразуем данное уравнение, выделив полные квадраты: 
1
4
)
1
(
9
)
4
(
36
)
1
(
9
)
4
(
4
3
)
1
2
(
9
)
16
8
(
4
0
37
)
2
(
9
)
8
(
4
0
37
18
32
9
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
=
−
+
−
=
−
+
−
=
+
−
+
+
−
=
+
−
+
−
=
+
−
−
+
y
x
y
x
y
y
x
x
y
y
x
x
y
x
y
x
введем новые переменные: 
1
,
4
1
1
−
=
−
=
y
y
x
x
, тогда 
1
4
9
2
1
2
1
=
+
y
x
- эллипс. 
Центр симметрии находится в точке 
)
1
;
4
(
, большая полуось а=3, малая полуось b=2. 
Уравнение фокальной оси 
1
=
y
9. 
Дана кривая 
0
14
10
4
2
=
+
+
−
x
y
y
. 
1)
 
Доказать, что данная кривая парабола. 
2)
 
Найти координаты ее вершины. 
3)
 
Найти значение ее параметра р. 
4)
 
Записать уравнение ее оси симметрии. 
5)
 
Построить данную параболу. 
Решение: преобразуем данное уравнение, выделив полный квадрат: 
0
)
1
(
10
)
2
(
0
10
10
)
4
4
(
0
14
10
4
2
2
2
=
+
+
−
=
+
+
+
−
=
+
+
−
x
y
x
y
y
x
y
y
получаем: 
1
,
2
1
1
−
−
=
−
=
x
x
y
y
, получим: 
1
2
1
10
x
y
=
- каноническое уравнение параболы. 

---

x 
-1 
y 
2 
5
10
2
=

=
p
p
Вершина параболы находится в точке (-1;2), прямая у=2 – ось симметрии. 
10. 
Дана кривая 
0
199
62
24
24
7
2
=
+
+
+
+
y
x
xy
y
 
1)
 
Доказать, что эта кривая - гипербола. 
2)
 
Найти координаты ее центра симметрии. 
3)
 
Найти действительную и мнимые полуоси. 
4)
 
Записать уравнение фокальной оси. 
5)
 
Построить данную гиперболу. 
Решение: Приведем квадратичную форму: 
xy
y
B
24
7
2
+
=
к главным осям. Матрица 
квадратичной формы имеет вид: 
7
12
12
0
=
B
. Записываем характеристическое уравнение 
этой матрицы: 
0
144
)
7
(
0
7
12
12
=
−
−
−

=
−
−




16
2
25
7
,
9
2
25
7
625
576
49
0
144
7
2
1
2
=
+
=
−
=
−
=
=
+
=
=
−
−




D
собственные числа. 
Так как 
0
144
2
1

−
=



, то заданная кривая – гипербола. 
Найдем ортонормированный собственный вектор соответствующий собственному числу 
9
1
−
=




=
+
=
+
0
16
12
0
12
9
2
1
2
1




2
1
3
4


−
=

)
1
;
3
4
(
−
- собственный вектор 
тогда 
)
5
3
;
5
4
(
1
−
=
i
- ортонормированный собственный вектор. 
Найдем ортонормированный собственный вектор соответствующий собственному числу 
16
2
=




=
−
=
+
−
0
9
12
0
12
16
2
1
2
1




1
2
3
4


=







3
4
;
1
- собственный вектор 

---

O
1
x
2
x 
y
2
y 
тогда 






=
5
4
;
5
3
1
j
- ортонормированный собственный вектор. 
Запишем матрицу Q перехода от базиса О, i, j к 
1
1
,
,
j
i
O









−
=
5
4
5
3
5
3
5
4
Q









−
=
=
−
5
4
5
3
5
3
5
4
1
T
Q
Q
выражаем новые координаты 
1
x
и
1
y
через старые:
(
)
(
)
y
x
y
y
x
x
4
3
5
1
,
3
4
5
1
1
1
+
=
+
−
=
Заданное уравнение в новой системе координат примет вид: 
(
)
(
)
(
) (
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
) (
)
1
9
2
16
1
144
2
16
1
9
55
199
2
16
1
9
199
4
16
2
9
199
64
18
16
9
199
4
62
3
24
5
1
3
62
)
4
(
24
5
1
16
9
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
1
1
2
1
1
1
2
1
2
1
1
1
2
1
2
1
=
+
−
−
−
=
+
+
−
−
+
−
=
+
+
−
−
−
=
+
+
−
−
−
=
+
+
+
−
−
=

+

+

+
−

+
+
−
y
x
y
x
y
x
y
y
x
x
y
x
y
x
y
x
y
x
Перейдем к новой системе координат 
1
1
1
,
j
i
O
: 
2
,
1
1
2
1
2
+
=
−
=
y
y
x
x
получим: 
1
9
16
2
2
2
2
=
−
y
x
- каноническое уравнение гиперболы. 
(
)
(
)
2
4
3
5
1
;
1
3
4
5
1
2
2
+
+
=
−
+
−
=
y
x
y
y
x
x
Решая систему 
0
,
0
2
2
=
=
y
x
найдем координаты центра симметрии гиперболы 
(
)
1
;
2
1
−
−
O
, 
действительная полуось равна 
4
=
a
, мнимая полуось равна 
3
=
b
. 
Построим гиперболу. Для этого сначала в старой системе координат построим новую 
систему координат. Новые оси направлены по прямым 
0
5
3
4
=
+
−
y
x
(ось 
2
1
Y
O
) и 
0
10
4
3
=
+
+
y
x
(ось 
2
1
X
O
). 
-1 
-2