Контрольная работа по высшей математике №2

---

 
 
a)
 
Тематический реферат по дисциплине «Высшая математика-1» 
b)
 
Контрольная работа- № 2, вариант -№2.10 
c)
 
Олимжонов Жахонгир Хасан угли 
d)
 
201007, Республика Узбекистан, Бухарская область, Ромитанский 
район, с.г.м Богча, пос. Сариосиё, д. - 
Email:
 
[e-mail]
  

---

3x-5y+15=0 
-2 
7 
B 
A 
x 
y 
1. 
В прямоугольном треугольнике даны: вершина острого угла 
)
2
,
7
(
−
A
и уравнение 
0
15
5
3
=
+
−
y
x
 одного из катетов. Записать общее уравнение другого катета.
Решение:
Так как прямая AB перпендикулярна прямой 
0
15
5
3
=
+
−
y
x
, то направляющий вектор 
прямой AB равен нормальному вектору прямой 
0
15
5
3
=
+
−
y
x
, т.е. 
)
5
;
3
(
−
=
AB
e
, тогда 
каноническое уравнение катета AB имеет вид
0
29
3
5
5
2
3
7
5
3
=
−
+

−
+
=
−

−
−
=
−
y
x
y
x
y
y
x
x
A
A
- общее уравнение катета AB. 

---

x+2y+1=0 
4 
x 
B 
C 
1 
1 
D 
A 
y 
4 
2. 
Высота проведенная из вершины 
)
4
;
4
(
A
 треугольника АВС, пересекает прямую 
ВС в точке 
)
1
;
1
(
D
. 
0
1
2
=
+
+
y
x
- уравнение высоты, опущенной из вершины В. 
Определить координаты 
0
0
,
y
x
 вершины С. 
Решение: 
Так как прямая 
0
1
2
=
+
+
y
x
- высота, то прямая 
0
1
2
=
+
+
y
x
перпендикулярна прямой 
АС. Отсюда следует что направляющий вектор прямой АС равен нормальному вектору 
прямой 
0
1
2
=
+
+
y
x
, т.е. 
)
2
;
1
(
=
AC
e
, тогда каноническое уравнение прямой АС имеет 
вид: 
0
4
2
2
4
1
4
2
1
=
−
−

−
=
−

−
=
−
y
x
y
x
y
y
x
x
A
A
- общее уравнение АС. 
по условию 
0
=


⊥
DC
DA
DC
DA
имеем 
)
1
;
1
(
);
3
;
3
(
0
0
−
−
=
=
y
x
DC
DA
тогда
0
)
1
(
3
)
1
(
3
0
0
=
−
+
−
=

y
x
DC
DA
0
2
0
0
=
−
+
y
x
- общее уравнение прямой DC. 
Найдем координаты точки С из пересечения прямых AC и DC: 



=
−
+
=
−
−
0
2
0
4
2
0
0
0
0
y
x
y
x
2
0
6
3
0
0
=

=
−

x
x
тогда 
0
2
2
2
0
0
=
−
=
−
=
x
y
Ответ: 
0
;
2
0
0
=
=
y
x

---

3. 
Записать общее уравнение плоскости, которая проходит через точку 
)
3
;
2
;
1
(
0
M
и ось 
OY. 
Решение: 
Возьмем на оси OY какие-нибудь две точки 
)
;
0
;
0
;
0
(
O
и 
)
0
;
1
;
0
(
0
N
Тогда искомое уравнение плоскости, т.е. плоскости проходящей через точки 
0
0
,
,
M
N
O
имеет вид: 
0
3
0
3
2
1
0
1
0
0
0
3
0
2
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
=
−

=

=
−
−
−
−
−
−
−
−
−

=
−
−
−
−
−
−
−
−
−
z
x
z
y
x
z
y
x
z
z
y
y
x
x
z
z
y
y
x
x
z
z
y
y
x
x
M
M
M
N
N
N
- 
общее уравнение искомой плоскости. 
4. 
Найти значение параметра m в уравнении прямой 



=
+
=
0
18
0
z
my
x
, если известно, что 
эта прямая параллельна плоскости 
0
5
3
4
=
+
+
+
z
y
x
.
Решение: 
Найдем направляющий вектор прямой 



=
+
=
0
18
0
z
my
x
)
18
;
;
0
(
)
0
;
0
;
1
(
2
1
m
N
N
=

=



В качестве направляющего вектора 
e
можно взять
)
;
18
;
0
(
18
18
0
0
0
1
2
1
m
mk
j
m
k
j
i
N
N
e
−
=
+
−
=
=

=


т.к. заданная прямая параллельна плоскости 
0
5
3
4
=
+
+
+
z
y
x
, то направляющий вектор 
e
прямой перпендикулярен нормальному вектору плоскости 
0
5
3
4
=
+
+
+
z
y
x
, который 
равен 
)
3
;
4
;
1
(
=
N

отсюда 
24
72
3
0
3
)
18
(
4
0
1
0
=

=

=

+
−

+


=

m
m
m
e
N


Ответ: 
24
=
m
5. 
Найти длину отрезка, отсекаемого от оси аппликат плоскостью, проходящей через 
точки 
)
4
;
0
;
1
(
),
0
;
1
;
2
(
2
1
P
P
и пересекающей оси ординат и абсцисс в точках 
)
0
;
0
;
(
),
0
;
;
0
(
2
1
a
A
a
A
. 
Решение: 
Составим уравнение плоскости проходящей через точки 
1
2
1
,
,
A
P
P
0
8
)
1
(
8
)
4
4
(
0
)
1
(
)
1
(
8
)
2
)(
4
4
(
0
0
1
2
4
1
1
1
2
0
0
0
1
2
0
0
4
1
0
2
1
0
1
2
=
+
+
−
−
−

=
−
−
+
−
−
−
+
−

=
−
−
−
−
−
−

=
−
−
−
−
−
−
−
−
−
a
z
a
y
x
a
z
a
y
x
a
a
z
y
x
a
z
y
x
по условию эта плоскость проходит через точку 
)
0
;
0
;
(
2
a
A
3
0
8
4
4
0
8
)
4
4
(
=

=
+
−

=
+
−
a
a
a
a
a
отсюда искомое уравнение плоскости имеет вид: 

---

0
6
2
2
0
24
4
8
8
0
24
)
1
3
(
8
)
12
4
(
=
−
+
+
=
+
−
−
−
=
+
+
−
−
−
z
y
x
z
y
x
z
y
x
Найдем пересечение полученной плоскости с осью OZ: 





=
=
=
−
+
+
0
0
0
6
2
2
y
x
z
y
x
6
0
6
=

=
−

z
z
Ответ: длина отрезка отсекаемого от оси аппликат заданной плоскостью равна 6. 
6. 
Найти координаты точки пересечения прямой 
z
y
x
=
=
3
3
с плоскостью, содержащей 
прямые 
4
1
3
2
1
+
=
=
−
z
y
x
, 
4
1
3
1
2
1
−
=
−
=
−
z
y
x
.
Решение: найдем уравнение плоскости содержащей прямые 
4
1
3
2
1
+
=
=
−
z
y
x
и 
4
1
3
1
2
1
−
=
−
=
−
z
y
x
.
прямая 
4
1
3
2
1
+
=
=
−
z
y
x
проходит через точку 
)
1
;
1
;
1
(
N
, тогда искомое уравнение плоскости 
есть уравнение плоскости проходящей через точки K, M, N 
0
)
1
(
2
)
1
(
0
2
1
0
2
2
3
1
1
1
0
1
1
0
1
1
1
1
3
0
2
3
1
0
1
0
1
0
=
+
−
+
−
−

=
−
−
−
+
−

=
+
−
−
+
−
−
−
−
+
−
−

=
−
−
−
−
−
−
−
−
−
z
y
x
z
y
x
z
y
x
z
z
y
y
x
x
z
z
y
y
x
x
z
z
y
y
x
x
k
m
k
m
k
n
k
m
k
m
k
m
k
k
k
0
2
=
+
−
z
y
x
- искомое уравнение плоскости. 
Найдем координаты точки пересечения прямой 
z
y
x
=
=
3
3
с полученной плоскостью: 




=
+
−
=
=
)
2
(
0
2
)
1
(
12
3
z
y
x
z
y
x
из уравнения (1): 
x
y
x
z
4
,
3
1
=
=
подставим в (2): 
0
0
3
1
4
2
=

=
+

−
x
x
x
x
тогда 
0
,
0
=
=
z
y
Ответ: координаты точки пересечения равны 
0
,
0
,
0
=
=
=
z
y
x
7.