Конспект лекций по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»

Тема 9: Оценка доли признака и генеральной средней

ПЛАН
1. Оценка генеральной доли и генеральной средней по собственно-случайной выборке. Несмещенность и состоятельность оценок.
2. Оценка генеральной дисперсии по собственно-случайной выборке. Исправленная выборочная дисперсия.
3. Понятие доверительного интервала и доверительной вероятности оценки.
4. Средняя квадратическая ошибка выборки при оценке генеральной доли и генеральной средней.
5. Определение необходимого объема повторной и бесповторной выборок.

1. Оценка генеральной доли и генеральной средней по собственно-случайной выборке. Несмещенность и состоятельность оценок

Пусть генеральная совокупность содержит N элементов, из которых M элементов обладает некоторым признаком А. Необходимо найти оценку генеральной доли . В качестве такой возможной оценки параметра р рассмотрим его статистический аналог – выборочную долю .
Теорема 1. Выборочная доля повторной выборки является несмещенной и состоятельной оценкой генеральной доли , причем ее дисперсия , где q=1-p.
Доказательство. Математическое ожидание и дисперсия частости события в n независимых повторных испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью p , равны соответственно M(w)=p, D(w)=_w²=pq/n . Из первого равенства следует, что выборочная доля w есть несмещенная оценка генеральной доли р; из второго равенства получаем ее дисперсию.
Состоятельность оценки следует непосредственно из теоремы Бернулли , или .
Теорема 2. Выборочная доля бесповторной выборки является несмещенной и состоятельной оценкой генеральной доли , причем ее дисперсия , где q=1-p.

2. Оценка генеральной средней по собственно-случайной выборке

Пусть из генеральной совокупности объема N отобрана случайная выборка Х₁, Х₂, … , Х_k, … , Х_n , где Х_k  случайная величина, выражающая значение признака у k-го элемента выборки. Необходимо найти оценку генеральной средней. В качестве такой возможной оценки рассмотрим его статистический аналог – выборочную среднюю .
Теорема 1. Выборочная средняя повторной выборки является несмещенной и состоятельной оценкой генеральной средней , причем ее дисперсия .
Доказательство. Математическое ожидание выборочной средней :
, т.е. – несмещенная оценка для .
Дисперсия выборочной средней :
.
Состоятельность оценки следует непосредственно из теоремы Чебышева.
Теорема 2. Выборочная средняя бесповторной выборки является несмещенной и состоятельной оценкой генеральной средняя , причем .