Конспект лекций по цос

КОДИРОВАНИЕ ЧИСЕЛ

Для кодирования числа с фиксированной запятой
A =  0, a₁ a₂ … a_m, (1.10)
где — числовые разряды с весом
используются три основных способа: прямой, обратный и дополнительный коды.
Прямой код числа A (1.10) записывается в виде
[A]_пр =
т.е. знак положительного числа кодируется нулем, знак отрицательного числа — единицей, а числовые разряды кода совпадают с числовыми разрядами самого числа A.
Обратный код числа A (1.10) представляется в виде
[A]_обр =
где – инверсия разряда a_i (замена 0 на 1 и наоборот).
Положительные числа представляются, как в прямом коде, отрицательные – кодом, в знаковый разряд которого записывается единица, а в числовые разряды – инвертированные значения разрядов прямого кода (это эквивалентно сложению m-разрядного числа A с числом 2 – 2^–m, т. е. сложению с числом, содержащим во всех разрядах единицы).
Дополнительный код числа A (1.10) представляется в виде
[A]_доп =
т.е. положительные числа представляются так же, как и в прямом коде, а отрицательные — кодом, в знаковый разряд которого описывается единица, а в числовые разряды — инвертированные значения разрядов прямого кода и к младшему разряду добавляется единица. Это эквивалентно сложению отрицательного m-разрядного числа A с числом два: 10, 0000.
Обычно прямой код используется при выполнении операции умножения, а дополнительный код — при выполнении операции сложения с отрицательными числами.

ОШИБКИ КВАНТОВАНИЯ

В реальных устройствах цифровой обработки сигналов необходимо учитывать эффекты, обусловленные квантованием входных сигналов и конечной разрядностью всех регистров. Источниками ошибок в процессах обработки сигналов являются округление (усечение) результатов арифметических операций, шум аналого-цифрового квантования входных аналоговых сигналов, неточность реализации характеристик цифровых фильтров из-за округления их коэффициентов (параметров). В дальнейшем с целью упрощения анализа предполагается, что вес источники ошибок независимы и не коррелируют с входным сигналом (хотя мы и рассмотрим явление предельных циклов, обусловленных коррелированным шумом округления).
Эффект квантования приводят в конечном итоге к погрешностям и выходных сигналах цифровых фильтров (ЦФ), а в некоторых случаях и к неустойчивым режимам. Выходную ошибку ЦФ будем рассчитывать как суперпозицию ошибок, обусловленных каждым независимым источником.
Квантование чисел – нелинейная операция; m-разрядное двоичное число А представляется b-разрядным двоичным числом B=F(A), причем b < m. В результате квантования число А представляется с ошибкой
е = B – А = F(А) – А.
Шаг квантования Q = 2^–b определяется весом младшего числового разряда. При квантовании используется усечение или округление.
Усечение числа А состоит в отбрасывании т – b младших разрядов числа, при этом ошибка усечения e_ус = F_ус (А) – А.
Оценим величину ошибки в предположении m » b. Для положительных чисел при любом способе кодирования –2^–b < е_ус  0. Для отрицательных чисел при использовании прямого и обратного кодов ошибка усечения неотрицательна: 0  е_ус < 2^–b, а в дополнительном коде эта ошибка неположительна: 0  е_ус > –2^–b. Таким образом, во всех случаях абсолютное значение ошибки усечения не превосходит шага квантования: maxe_ус < 2^–b = Q.
Округление m-разрядного числа A до b разрядов (b « m) b-й разряд остается неизменным или увеличивается на единицу в зависимости от соотношения (больше – меньше) между отбрасываемой дробью 0, а_b+1...а_т и величиной , где а_i – i-й разряд числа A; i = b+1, ..., m. Округление можно практически выполнить путем прибавления единицы к (b+1)-му разряду и усечения полученного числа до b разрядов. В таком случае ошибка округления е_oк = f_ок(А) – А при всех способах кодирования лежит в пределах
–2^–(b+1) < е_oк < 2^–(b+1) (1.11)
и, следовательно, max < 2^–b = Q/2. (1.12)
В задачах ЦОС ошибки квантования чисел рассматриваются как стационарный шумоподобный процесс с равномерным распределением вероятности по диапазону распределения ошибок квантования.



(nT) x(nT)

e(nT)

Рис. 3. Линейная модель квантования сигналов:

(nT) — дискретный или m-разрядный цифровой сигнал (m > b);
x(nT) — квантованный b-разрядный цифровой сигнал;
e(nT) = x(nT) – f(nT) — ошибка квантования.


Квантование дискретных сигналов состоит в представлении отсчета (выборки сигнала) числами x(nT), содержащими b числовых разрядов. Квантование сигналов, как и квантование чисел – нелинейная операция. Однако при анализе процессов в ЦФ целесообразно использовать линейную модель квантования сигналов – рис. 3.
Верхнее значение ошибки квантования определяется соотношением (1.11) или (1.12).
Вероятностные оценки ошибок квантования основаны на предположениях о том, что последовательность е(пТ) является стационарным случайным процессом с равномерным распределением вероятности по диапазону ошибок квантования и е(пТ) не коррелирован с f(nT). Математическое ожидание (среднее значение) _e и дисперсия ошибки квантования е определяются по формулам:
= E(е) = ,
= = = E(е²) – ,
где р_е — плотность вероятности ошибки. По этим формулам вычисляются математическое ожидание и дисперсия для ошибок округления и усечения:
=
=
В логарифмическом масштабе
=

Лекция 2