Konchilik” fakulteti “konchilik ishi” kafedrasi “geodeziya”

Xatolar qonuniyati. Tasodifiy xatolar sodir bo‘lishining sabablarini aniq bilib bo‘lmasa ham, lekin o‘lchash jarayonida xatolar ma’lum qonuniyat asosida takrorlanadi. Xatolardagi bu qonuniyatni dastlab o‘rgangan va uni matematik ifodalagan olim Gauss bo‘ldi. SHunga ko‘ra, xatolarning ma’lum qonun va qoida bo‘yicha takrorlanishi “xatolarning Gauss qonuniyati” deyiladi.
Agar tasodifiy xatolar qiymati o‘sishiga qarab, absqissalar o‘qiga (analitik geometriya sistemasida), xatolarning takrorlanish soni ordinatalar o‘qiga qo‘yilsa, o‘lchash soni cheksiz bo‘lganda shunday egri chiziq hosil bo‘ladiki, bu egri chiziq tasodifiy xatolar xossalarini to‘la tasvirlaydi (10.1-shakl). Bu egri chiziq ham Gauss egri chizg‘i deyiladi; u quyidagn tenglama bilan ifodalanadi:
, (9.5)
bu erda (f)—xatoning nisbiy takrorlanishi; e—natural logarifm asosi; h—ko‘zatish qatorining suratini belgilovchi kattalik (aniqlik o‘lchovi); 9.1-shaklda h=1 deb olingan.
Umuman xatolar nazariyasi va tenglash hisoblari Gauss qo-nuniyati asosida olib boriladi. Bu qonuniyat “normal tarqalish” deb ham ataladi.

9.1-shakl.
Teng aniqli o‘lchash. Arifmetik o‘rta miqdor prinqipi. Teng ayiqli o‘lchashda bir kattalikning p marta o‘lchangan qiymatlarini l₁, l₂, . . . , l_p desak bu qiymatlarning arifmetik o‘rtasi L bilan belgilanib, quyidagicha ifodalanadi:

yoki yig‘indi Gauss belgilashicha yozilsa,
(9.6)
bo‘ladi. Bu ifoda teng aniqli o‘lchash natijalarining arifmetik o‘rtasi deyiladi. Bu qiymat o‘lchanadigan kattalikning haqiqiy qiymatiga eng yaqin bo‘ladiki, bu quyidagicha isbotlanadi. (9.2) bo‘yichaa:
₁=l₁ –x
₂=l₂ –x
_p=l_p –x
=l-px;
tenglikning ikki tomonini qo‘shib, natijani p ga bo‘lsak, quyidagi chiqadi
. (9.7)
L—x-arifmetik o‘rtaning haqiqiy xatosi deyiladi. (10.7) bo‘yicha o‘lchash soni p cheksiz bo‘lganda bo‘ladi, shunga ko‘ra
L—x=0 yoki L=x (9.8)
chiqadi, ya’ni o‘lchash soni cheksiz bo‘lganda o‘lchangan miqdorning arifmetik o‘rtasi haqiqiy qiymatiga teng bo‘ladi. Odatda, o‘lchash soni p cheksiz bo‘lmay, balki ma’lum miqdordan oshmaydi. SHunday bo‘lganda ham arifmetik o‘rta har qanday boshqa sonda haqiqiy qiymatga eng yaqin hisoblanadi va eng ehtimaliy qiymat deyiladi. haqiqiy qiymat ma’lum bo‘lmaganda uning o‘rnida ishlatiladi.
O‘lchash aniqligini baholash. Noma’lum kattalikning o‘lchab topilgan qiymatlari qanday xato bilan topilganligini, ya’ni qanday aniqlikda o‘lchanganlingini ko‘rsatish o‘lchash aniqligini baholash deyiladi. O‘lchash aniqligi o‘lchashdagi tasodifiy xatolar orqali ifodalanadigan o‘rta kvadratik chekli xato, ehtimoliy, o‘rtacha xato deb ataladigan xatolar bilan baholanadi.
O‘rta kvadratik xato. Teng aniqli o‘lchash natijalarining aniqlik darajasini baholashda o‘lchashning o‘rta kvadratik xatosi deyiladigan xato t qabo‘l qiliigan, u quyidagi formula bo‘yich hisoblanadi:
, (9.9)
bu erda t—bir o‘lchashning o‘rta kvadratik xatosi deb ham ataladi, ya’ni haqiqiy xato kvadratlari arifmetik o‘rtasining kvadrat ildizi bir o‘lchash o‘rta kvadratik xatosi bo‘ladi. O‘rta kvadratik xato o‘lchash aniqligini baholashda mezon tariqasida qo‘llaniladigan boshqa nomdagi xatolardan birmuncha afzalligi bo‘lganidan, aniqlikni baholashda asosiy mezon bo‘lib xizmat qiladi. Bu xatoning afzalliklari quyidagicha:
1. (9.9) formuladan ko‘rinadiki, t ni hisoblashda hamma musbat va manfiy tasodifiy xatolar kvadratga oshirilib, keyin yig‘indisi olinganidan, xatolarda o‘zaro eyilish bo‘lmaydi; absolyut qiymati katta xatolar. o‘rta kvadratik xato qiymatitga ko‘proq ta’sir etishi bilan o‘rta kvadratik xato qiymati ortadiki, bu hol o‘lchash sifatini yaxshilashga undaydi.
2. (9.9) formulani chiqarishda o‘lchash soni p cheksizga intilishi e’tiborga olingan, lekin amalda o‘lchashlar soni cheklangan (5—10 marta) bo‘ladi. Tajribaning ko‘rsatishicha, shunda ham ishonchli natija olinadi. SHunga ko‘ra o‘rta kvadratik xatoni o‘lchash aniqligini baholashda eng turg‘un mezon deb qabo‘l qilish mumkin.
O‘rta kvadratik xato t ni hisoblashda qilinadigan xatoni t_t desak u quyidagicha bo‘ladi:
(9.10)
Agar o‘lchashlar soni p=8, t=0,5' bo‘lsa, m_m=0,25t bo‘ladi, ya’ni t_t ni hisoblashda t qiymatining 25 proqenticha xato qilingan, u taxminan 0,1' ga teng, p qiymati kamaysa, t xatosi oshadi.
CHekli xato. O‘lchash natijalari aniqligini o‘rta kvadratik xato orqali baholash bilan birga, shu o‘lchashda yo‘l quyilishi mumknn bo‘lgan eng katta xato, ya’ni chekli xato deyiladigan xato ham qo‘llaniladi.
Ehtimollar nazariyasining ko‘rsatishicha o‘rta hisobda 1000 xatodan faqat uch xato o‘rta kvadrat xatoning uchlangan qiymatidan katta bo‘ladi. SHunga ko‘ra, o‘rta kvadratik xatoning uchlangan qiymati 3t chekli xato deb qabo‘l qilinadi. CHekli xato _lim belgi bilan ko‘rsatiladi:
_lim=3t (9.11)
Lekin geodezik ishlarda aniq o‘lchashga talabni qattiqroq qo‘yib, chekli xato 2t deb olinadi, ya’ni
_lim=2t (9.12)
(9.12) ga ko‘ra, 100 xatodan yolg‘iz besh xato 2t dan oshad.
O‘rtacha xato. Ba’zan chet davlatlarda o‘lchash aniqligi o‘rtacha xato bilan baholanadi. Tasodifiy xatolar absolyut qiymatlarining arifmetik o‘rtasi o‘rtacha xato deyiladi va  bilan belgilanadi:
(9.13)
O‘rtacha xato  bilan o‘rta kvadratik xato t orasida quyidagi munosabat bor:
 =0,8m. (9.14)
Ehtimoliy xato. Ba’zi chet ellarda (AQSH) mezon tariqasida ehtimoliy xato qo‘llaniladi va r harfi bilan belgilanadi. O‘lchashdagi tasodifiy xatolar absolyut qiymatlarining o‘sishi jihatidan bir qatorga yozilsa, qator ikki chetidan teng uzoqlikda yotgan xato ehtimoliy xato bo‘ladi.
Ehtimoliy xato bilan o‘rta kvadratik xato orasida quyidagi munosabat bor:
r=0,6745t yoki (9.15)
Eng ehtimoliy xato va uning xossasi. Bu xato hozir o‘lchangan kattalik qiymatlari l₁ ning arifmetik o‘rta qiymat L dan chetlanishi deyiladi va  harfi bilan belgilanadi.
_i=l_i—L (9.16)
O‘lchanadigan miqdorning haqiqiy qiymati X hamma vaqt ham ma’lum bo‘lmaydi, shunga ko‘ra tasodifiy xato qiymatini ham hisoblab bo‘lmaydi. Bunday vaqtda haqiqiy qiymat o‘rniga unga eng yaqin bo‘lgan eng ehtimoliy qiymat—arifmetik o‘pma L qabo‘l qilinadi. Kattalikning o‘lchangan qiymatlari bilan arifmetik o‘rta qiymat orasidagi ayirma eng ehtimoliy xato yoki o‘lchangan qiymatning arifmetik o‘rtadan chetlanishi bo‘ladi. Bu chetlanishning quyidagi xossasi hisoblash ishlarida ko‘p qo‘llaniladi. Bu xossani aniqlash uchun (9.16) kabi p ta tenglik yoziladi va ikkala tomoni qo‘shiladi:
₁=l₁—L,
₂=l₂—L,
. . . . . .

[l]=nL ekanligi eslansa,

bo‘ladi, ya’ni eng ehtimoliy xatolar yig‘indisi nolga teng.
Nisbiy xato. O‘lchanadigan kattalik uzunlik birligi bilan o‘lchansa, o‘lchash aniqligini baholashda yuqoridagi absolyut qiymat bilan ifodalanadigan xato mezonlari juda ham to‘g‘ri kelavermaydi. Bunda o‘lchash xatosining chiziq uzunligiga bo‘lgan nisbati bilan .baholanadi; bu nisbat nisbiy xato deyiladi. Agar o‘lchangan chiziq uzunligi d, o‘lchashda qilingan xato d bo‘lsa, bo‘lar nisbati nisbiy xato bo‘ladi va quyidagicha yoziladi:
, (9.18)
bu erda N—xato d chiziq uzunligidan qancha kichik ekanini ko‘rsatuvchi son. Nisbiy xato hamma vaqt surati bir bo‘lgan oddiy kasr ko‘rinishida ifodalanadi va suratdagi absolyut xato nomiga qarab ataladi. Masalan, l ning o‘rta kvadratik xatosi t bo‘lsa,
(9.19)
bo‘ladi, bu o‘rta kvadrtik nisbiy xato deyiladi. —haqiqiy nisbiy xato; —o‘rtacha nisbiy xamo; —chekli nisbiy xato. Nisbiy xatoni surati bir bo‘lgan oddiy kasr bilan ifodalash uchun surati bilan maxraji suratdagi songa bo‘linadi. Masalan:
.