Mavzu: Taqribiy integrallash formulasini tanlash, aniqligini baholash

LABORATORIYA ISHI - 14.

Mavzu: Taqribiy integrallash formulasini tanlash, aniqligini baholash.

1. 
   Ishdan maqsad: Talabalarda taqribiy integrallash usullaridan Simpson formulasi haqida bilim va ko’nikmalar hosil qilish, uning aniqligini baholash haqida tushunchalarga ega bo’lish.
   

2. 
   Nazariy qism
   

Simpson formulasi yordamida integralni taqribiy hisoblash.

Parabolalar (Simpson) formulasi bilan aniq integralni hisoblashni o‘rganamiz.

[a,b] kesmani h=(b-a)/2n qadam bilan 2n ta juft bo‘laklarga ajratamiz. Bo‘linish nuqtalari

x₁, x₂, x₃,…, x_2n-1

Bo‘lganda bu nuqtalarda integral ostidagi funktsiyaning mos qiymatlarini topamiz::

Integral ostidagi f(x) funktsiyani parabola funkiyasi bilan almashtirishda Nyutonning interpolyatsiya formulasi asosida nuqtalarga qurilgan parabolaning quyidagi interpolyatsiya ko‘phadidan foydalanamiz:

bu yerda , ekanligdan interpolyatsiya ko‘phadi quyidagicha yozamimz:

Bu holda kesmada f(x) interpolyatsiya ko‘phadini integrallaymiz:

(*)

bu yerda lar x ga bog’liq emas. Integralni undagi qo‘shiluvchilar integrallarini alohida integrallash bilan topamiz:

1)

2) ikkinchi va uchinchi qo‘shiluvchilarni integrallashda quyidagicha almashtirish qilamiz:

dan

Bu holda

,

Demak (*) integralning qiymati

Shuningdek dagi integrallarni topamiz:

Bu integrallarni qo‘shish bilan [a, b] kesmadagi integralni topamiz:

taqribiy formulaga ega bo‘lamiz, bu Simpson formulasi deb yuritiladi.

Teorema. Agar f(x) funktsiyasining kesmada yetarlicha (masalan, Simpson formulasi uchun to‘rtinchi) tartibli chegaralangan hosilasi mavjud bo‘lsa, taqribiy integrallash formulalari xatoliklarining bahosi uchun quyidagi o‘rinlidir:
Simpson formulasi uchun

Bu yerda R(h) taqribiy integrallash formulasining xatoligi

.

{Simpson usuli} Program integral2(input,output); Uses crt; var a,b,h,s,J:real; i,n,k:integer; function f(x:real):real; begin f:=ln(x*x+3*x+1); end; begin clrscr; write(‘quyi chegara a=’); readln(a); write(‘yuqori chegara b=’); readln(b); write(‘bo’laqlar soni n=’); readln(n); h:=(b-a)/n; s:=f(a)+f(b); k:=1; for i:=2 to n do begin s:=s+(3+k)*f(a+(i-1)*h); k=-k end; J:=s*h/3; textcolor(2); writeln(‘integral qiymati J=’,J:3:4); end.

Ushbu dasturlarni zamonaviy kompyuterlarning turli dasturlash tillarida kiritib natijalarni olish va tahlil qilish mumkin.

3. 
   Laboratoriya ishiga topshiriqlar
   

Quyidagi integrallarni integrallash oralig’ini 10 bo’lakka bo’lib, Simpson formulalari yordamida taqribiy hisoblang. Absolyut hatolikni 100 bo’lakka bo’lingan holdagi natija bilan solishtiring.