Konchilik” fakulteti “konchilik ishi” kafedrasi “geodeziya”

Qutbli planimetr nazariyasi. Qutbli planimetr bilan yuz hisoblash murakkab nazariyaga asoslanadi. Aylantirish richagi R o‘zining turli harakatida o‘z yo‘lida har xil yuz hosil qilishi mumkin. Masalan, 9.5-shakldagi igna 7 ni 9.7-shaklda A, nuqta 6 ni shaklda V, 9.16-shakldagi g‘ildirak gardishi 15 ni S va buning V dan uzoqligini r deb, bosh sanoqni n₁ deylik. Keyin planimetrii quyidagicha harakat qildiraylik (4.10-shakl). Richag SA o‘z yo‘nalishi bo‘yicha harakatlanganda (a holi) richag yo‘lida yuz S hosil bo‘lmaydi va g‘ildirak aylanmay, yolg‘iz suriladi, shuning uchun sanoq ham o‘zgarmaydi, ya’ni p₂=p₁, S=0 bo‘ladi. Agar SA o‘ziga parallel harakat qilib (b holi) S₂A₂ holatni egallasa, VA richag o‘z yo‘lida to‘g‘ri. to‘rtburchaklik VAA₂V₂ ning yuzi S ni hosil qiladi; g‘ildirakning yurgan yo‘li VV₂=AA₂=h bo‘ladi. Balandlik h sanoq va bir bo‘lakning qiymati orqali aniqlansa, h=(p₂—p₁)  bo‘ladi. SHunda to‘rtburchaklik yuzi,
S=Rh=R (n₂—p₁) (4.7)
yoki R=R desak,
S=R(n₂—p₁) (4.8)
bo‘ladi; bu erda R—planimetr bir bo‘lagining qiymati, u balandligi , tomoni R bo‘lgan to‘g‘ri to‘rtburchaklik yuziga teng (8.7-shakl, g), p₁—aylantirishdan oldingi sanoq, p₂—aylantirilgandan keyingi sanoq.
Agar richag o‘ziga parallel va SA ning yo‘nalishi bo‘ylab harakatlansa (v holi), g‘ildirak qisman aylanadi va qisman suriladi, natijada richag yo‘li parallelogramm hosil qiladi. Uning yuzi S ham S=hR yoki S=R(p₂—p₁) bo‘ladi.
Agar aylantirish richagi bilan qutb richagi birlashtirilsa (8.8-shakl), keyin M nuqtadan boshlab, MN chiziq bo‘yicha yurgizilsa, VA richag V₁A₁ holatga kelganda aylantirish richagining yo‘li VAA₁V₁ parallelogramm yuzi bo‘ladi, keyin V₁ nuqtada V₁A₁ o‘rniga  burchak qadar burilsa, V₁A₁A₁^ sektor yuzi chiqadi. Bunda g‘ildirak teskari aylanganidan S₁ nuqta S₁^ ga o‘tadi va SS₁^ yoyi hosil bo‘ladiki, bu radian o‘lchovida SS₁^=r ga teng. Bunda g‘ildirakning hamma aylanishi h—r=(p₂—p₁) yoki h—(p₂—p₁)+r bo‘ladi.


4.7-shakl.
Parallelogrammning yuzi S₁=Rh=R(n₂—p₁)+Rr bo‘ladi. Qutb richagining uzunligini R₁ desak u ham OV dan OV₁ ga o‘tishda  ga burilib, OVV₁ sektorini hosil qiladi. SHunda sektor V1A₁A₁^ ning yuzini S₂, sektor OVV₁ ning yuzini esa S₃ desar qutb va aylantirish richaglarining yurishidan hosil bo‘lgan hamma yuz S=S₁+S₂+S₃ bo‘ladi. VV₁=R₁; A₁A₁^=R ekanini eslasak sektorlar yuzi , bo‘ladi. Bu qiymatlarni S ifodasiga qo‘ysak va R'=R ekanini eslasak,
(a)
chiqadi.
Agar richaglarni yuqoridagidek o‘ng tomonga aylantirsak, har qaysi elementar surishga mos (a) kabi bir necha tenglik chiqadi Bularning yig‘indisini olsak,
(b)
bo‘ladi. Agar aylantirishni shakldagi M nuqtadan boshlab, shakl chegarasi bo‘yicha aylanib chiqsak planimetr qutbi O ning shaklga nisbatan turish joyiga qarab, quyidagi ikki hol bo‘ladi.
1. Agar qutb O shakl ichida tursa, butun chegarani aylanib chiqqanda ==2 bo‘ladi. Buni (b) ga qo‘ysak,
S=R(p₂-p₁)+2Rr+R²+R₁² (v)
chiqadi. O‘zgarmas miqdorlar yig‘indisi (R²+R₁²+2Rr)=Q desak,
S=P(n₂-n₁)+Q (8.9)
chiqadi. Q planimetrning konstantasi deyiladi. Bu formula planimetr qutbi shakl ichida turganda qo‘llaniladi.
2. Agar qutb O shakl tashqarisiga o‘rnatilib, shakl chegarasi bo‘ylab aylantirib chiqilsa, masalan, 8.8-shaklda shtrixlangan uchastka chegarasi bo‘yicha A dan boshlab N nuqtagacha yurgizishda  va  burchaklar qiymati oshib boradi; N dan chapga NKM bo‘yicha yurganda esa kamayadi va bosh nuqta M ga kelganda nol, ya’ni ==0 bo‘ladi. SHunda (b) ifoda quyidagicha yoziladi:
S=R(p₂—p₁), (8.8)
ya’ni planimetr qutbi shakl tashqarisida turganda shaklning yuzi planimetr bir bo‘lagi qiymatining sanoqlar ayirmasiga ko‘paytirilganiga teng.

4.8-shakl.
Planimetr bilan yuz hisoblashdan avval uning bir bo‘lak qiymati R va o‘zgarmas son Q aniqlanadi. Bu ikkala miqdorning qiymati R ga bog‘liq bo‘lib, R o‘zgartirilmasa, R va Q qiymatlari ham o‘zgarmaydi. Lekin ishlashda shakl kattaligi va boshqa sababga ko‘ra, R qiymati o‘zgartiriladi.
R ni aniqlash. Agar R va  qiymatlari va plan masshtabi ma’lum bo‘lsa, R quyidagicha topiladi:
R=M²R (4.10)
bu erda M—masshtab maxraji. Odatda, M va R ma’lum bo‘lsa ham  qiymati ma’lum bo‘lmaydi. SHunga ko‘ra R qiymati plan masshtabiga qarab amaliy yo‘l bilan topiladi. (8.8) formuladan:
. (4.11)
Bu formula yordamida R ni aniqlash uchun plandagi kvadratlardan biri yoki bir nechtasi olinadi va uning yuzi plan masshtabi bo‘yicha matematik usulda hisoblab topiladi. Katak tomonining uzunligi 5 sm bo‘lsa, plan masshtabi 1:2000 bo‘lganda, bu uzunlik joydagi 100 m ga to‘g‘ri keladi. SHuning uchun bir katakning yuzi S=100100=10000 m² bo‘ladi.
Planimetr olinadi, uning nomeri va aylantirish richagining uzunligi R (verner bo‘yicha olinib) vedomost tepasiga yoziladi. Keyin planimetr qutbi kvadratning chap tomoniga (QCH) o‘rnatilib, aylantirish ninaci (sixchasi) kvadrat tomonida belgilangan bir nuqtaga qo‘yiladi-da, sanoq olinadi; bu p₁ bo‘ladi. So‘ngra nina katak tomonidan soat strelkasining yurish yo‘li bo‘yicha yurgizib, belgilangan nuqtaga qaytiladi va sanoq olinadi; bu p₂ bo‘ladi (8.9-shakl).

4.9-shakl.
SHu xilda aylantirib sanoq olish uch marta takrorlanadi, olingan sanoqlar maxsus jadvalga yoziladi. Bunda birinchi marta aylantirishdagi sanoqlar ayirmasi bilan ikkinchi aylantirishdagi sanoqlap ayirmasi orasidagi farq, shakl yuzining katta-kichikligiga qarab, 3—5 birlikdan oshmasligi kerak.
So‘ngra planimetr qutbini kvadrat katakning o‘ng tomoniga qo‘yib, bunda ham uch marta aylantirib sanoqlar olinadi va ayirmalari topiladi. Keyin barcha ayirmalarning o‘rtacha qiymati topilib, (8.11) formula yordamida R ning qiymati aniqlanadi.
Lekin (8.11) formulaga sanoqlar ayirmalarining arifmetik o‘rta qiymati (p₂—p₁) qo‘yiladi, ya’ni bo‘ladi.
Q ni aniqlaщ. Q=Pq deb olib, buni (9.8) dagi Q o‘rniga qo‘ysak
S=R(p₂-p₁)+Rq=R(p₂-p₁+q) (a)
bo‘ladi. Ixtiyoriy bir shakl olib, planimetr qutbi O ni shakl tashqarisiga qo‘yib aylantirib (8.10-shakl), p₁, p₂ sanoqlar olinadi. Bunda (8.7) ga binoan shakl yuzi,
S=P(n₂-n₁) (b)
bo‘ladi.

9.10-shakl.
Keyin qutbni shakl ichidagi O' ga qo‘yib, aylantirib p₁^, p₂^ canoqlar olinadi. Bunda (a) ga binoan shakl yuzi,
S=P (n₂'—p₁'+q) (v)
bo‘ladi. (b) va (v) ning chap tomonlari teng bo‘lganidan, o‘ng tomonlari ham teng, shuning uchun R(p₂—n₁)=P(n₂^—p₁^+q), bu erdan
q=(n₂—p₁)—(n₂'—p₁) (8.12)
bo‘ladi. q topilgach, Q=Pq bo‘yicha Q topiladi.