«Kompyuter injiniringi» fakulteti «Kompyuter injiniringi» baǵdarı II kurs 301-20 topar studenti Ibraymov Alpamıstıń

ÓZBEKSTAN RESPUBLIKASÍ
INFORMACIYALÍQ TEXNOLOGIYALARÍ HÁM KOMMUNIKACIYALARÍN RAWAJLANDÍRÍW MINISTRLIGI


MUXAMMED AL-XOREZMIY ATINDAǴÍ
TASHKENT INFORMACIYALÍQ TEXNOLOGIYALARÍ UNIVERSITETI NÓKIS FILIALÍ
« Kompyuter injiniringi » fakulteti
«Kompyuter injiniringi» baǵdarı
II kurs 301-20 topar studenti
Ibraymov Alpamıstıń
« ALGORITHM PROEKTLESTIRIW »
páninen


ÓZ BETINSHE JUMISI

Tayarlaǵan _________________ A.Ibraymov
Qabıllaǵan _________________ D.Seytniyazov
Nókis – 2022

Tema : Teńlemelerdi sheshiwde Vatarlar hám Nyuton usılları. Jaqınlasıw tezligi

Joba :
1. Iteratsiya usılı
2. Iteratsiya usılınıń jaqınlasıw shártleri
3. Nyuton usılı
4. vatarlar usılı
Tayansh sóz dizbegiler: túbirlerdiń birden-birligi, grafik usıl, dáslepki jaqınlasıw, iterasiya,
baslanǵısh jaqınlasıw, iterasiyaning geometriyalıq mánisi, esaplaw qátesi, Nyuton
usılı
Ápiwayı iterasiya metodı. Biz házir ápiwayı iterasiya (yamasa izbe-iz jaqınlasıw ) metodı
menen bir sanlı teńleme mısalında tanıwamız. Bul metoddıń ulıwma teoriyasn menen keyingi
paragrafda tanısıp shıǵamız. Iterasiya metodın qóllaw ushın teńleme oǵan teń
kúshli bolǵan tómendegi

(7)
Kanonik formaǵa keltnrilgan hám túbirleri ajıratılǵan bulishi kerek. (7) teńlemediń túbiri jatqan
átirapiing qandayda bir Noqatın ızlenip atırǵan túbirdiń nolinchi jaqınlasıwı dep alamız. Náwbettegi yakinlashishini tabıw ushın (7) dıń ońına ir Ni qóyamız hám payda bolǵan Ma`nisin Menen bolg'ilaymiz, yaǵnıy
(8)

Tabılǵan sannı (7) dıń ońına qoyıp, jańa san ni payda etemiz. Bul

processni dawam ettirib, f-jaqınlasıw ni (p-1)- jaqınlasıw járdeminde tabamız :
(n=1,2,3…) (9 )
Bul formula járdeminde tabılǵan sanlar izbe-izgilining limiti yaǵnıy
(10 )
ámeldegi hám funksiya úzliksiz bolsa, (3. 3) teńliktiń eki tárepinde limitga ótip,
,
yaǵnıy
ga iye bolamız. Bul teńlikten ko'rinadlik, berilgen teńlemediń túbiri eken. Sonday eken, bul
túbirdi (9 ) formula járdeminde istgalgan anıqlıq menen esaplaw múmkin, (10 ) limit ámeldegi bolǵan
halda iterasiya procesi jaqınlashuvchi dep ataladı. Lekin ámeldegi bolmawi de múmkin,
bunday halda ápiwayı iterasiya usılı maqsetke muwapıq bolmaydı.
Iterasiya metodı ápiwayı geometriyalıq mániske iye. Bunı túsiniw ushın hám y=x
funksiyalardıń grafikların chizamiz. Bul grafiklardıń kesilisken M nuktasining abssissası (7)
teńlemediń x= túbirl bolıp tabıladı.
Shama menen oylayıq, x0 nolinchi jaqınlishish bolsın, ol waqıtta noqat
qıysıq sızıqta jatadı. Bul noqattan gornzontal (ox oǵına parallel) sızıq ótkeremiz. Bul sızıq u=x
bissektrisani noqatda kesadi. ni menen belgilep alsaq, noqattıń
koordinataları ( ) kóriniske iye boladı. noqat arqalı ou o'qqa parallel tuwrı sızıq
ótkersak, ol iymek sızıqtı noqatda kesadi. Bul processni dawam ettirib, y=x bissektrisada jatqan (bul jerde ) keyin y= iymek sızıq ústinde noqatqa iye bolamız hám t.b.

5-shizma

6-shızma

Eger iterasiya procesi jaqınlashsa, ol waqıtta , noqatlar ızlenip atırǵan M

noqatqa jaqınlasadı. , noqatlardıń , abssissaları ga, yaǵnıy (7)
teńlemediń túbirine jaqınlasadı. Sonday etip, iterasiya metodınıń geometriyalıq mánisi
tómendeginen ibarat : iymek sızıq menen koordinatalar múyeshi bissektrisaning kesilisiw
noqatına sınıq sızıq boylap háreket etemiz, sınıq sızıqtıń úshleri gezek menen iymek sızıq hám
bissektrisa ústinde jatadı, tárepleri bolsa gezek menen gornzontal hám vertikal jónelgen boladı. Eger
iymek sızıq hám bissektrisa 5-shizmadagidek jaylasqan bolsa, ol waqıtta sınıq sızıq tekshenı
yadǵa saladı. Eger iymek sızıq hám bissektrisa 6 - sızılmadaǵı sıyaqlı bolsa, ol jaǵdayda sınıq sızıq spiralni
yadǵa saladı.
Iterasion process alıslasıwı da múmkin. Bunıń geometriyalıq mánisi sonnan ibarat,
teksheniń teksheleri (yamasa spiralning bug'inlari) barǵan sayın úlkenlesedi, sol sebepli de
,
noqatlar M ga jaqınlashmaydi, bálki uzoqlashadi (7-8-shizmalar).

7-shizma

8-shizma
Sol sebepli, iterasiya procesi mudamı jaqınlashavermas eken, sonday eken, bul process
jaqınlasıwı ushın qanday shártler atqarılıwı kerekligini anıqlaw kata áhmiyetke iye. Bul
shártler Bul teoremada kórsetiledi.
I- teorema. Shama menen oylayıq, funksiya hám dáslepki jaqınlasıw tómendegi
shártlerdi qánaatlantirsin:

1. 
   funksiya
   

(11)
aralıqta aiqlangan bolıp, bul aralıqtan alınǵan qálegen eki x hám y noqatlar ushın
Lipshis shártini qánaatlatirsin:
(0

2) tómendegi teńsizlikler orınlansın :

(13)
Ol halda (7) teńleme (11) aralıqta birden-bir túbirge iye bolıp, { }izbe-izlik bul sheshimge
ıntıladı hám umtılıw tezligi
(14)
teńsizlik menen anıqlanadı.

Tastıyıq. Aldın induksiya metodnni qollap, qálegen p ushın ni kóriw múmkinligin,

dıń (11) aralıqta jatıwlıǵı hám
(15)
teńsizliktiń atqarılıwın kórsetemaz.
Eger p = 0 bolsa, bolǵanı ushın (15) teńsizlik (13) den kelip shıǵadı.
Bunnan tısqarı, bolǵanı ushın teńsizlik atqarılıp, (11)
aralıqta jatadı. Endi shama menen oylayıq, , lar qurılǵan bolıp, olar (11) aralıqta yotsish hám
teńsizlikler orınlansın. Induksiya shártiga kóre (11) de jatadı, (11) de anıqlanǵan,
sol sebepli de ni kóriw múmkin. Teoremaning 1-shártidan

kelip shıǵadı. Lekin hám ushın induksiya shártiga kóre orınlı, sonday eken, . Bul bolsa hám ushın (15) teńsizliktiń atqarılshini kórsetedi. Aqır-aqıbetde,

munasábetler dıń (11) aralıqta jatıwın kórsetedi. Usınıń menen tastıyıq etiliwi talap etilgen
oy-pikir tastıyıqlanadi.
Endi { }dıń fundamental izbe-izlik shólkemlestiriwin kórsetemiz. (15) teńsizlikke
kóre ixtiyriy P natural san ushın

Yamasa
(16 )
Bul teńsizliktiń ońı P ǵa baylanıslı bolmaǵanlıǵı hám 0 (11) aralıqta jatqanı ushın da sol aralıqta jatadı. (12) shártdan dıń úzliksizligi kelip
chshqadi, sol sebepli de teńlikte limitga ótip, (7) teńlemediń túbiri
ekenligin tastıyıq etemiz.
Endi túbirdiń (11) aralıqta birden-birligin tastıyıqlaymız. Shama menen oylayıq, (7)
teńlemediń (11) aradaǵı basqa qandayda bir túbiri bolsın,
ekenin kórsetemiz. Haqıyqattan da,
(6 ) ga kóre,
q
0Jaqınlasıw tezligin kórsetiwshi (14) teńsizlikti keltirip shıǵarıw ushın (16 )
teńsizlikte p limitga ótiw jetkilikli bolıp tabıladı. Teorema tastıyıq boldı.

Iterasiya metodı jaqınlasıwın tezlestirishning bir usılı haqqında. Iterasiya

metodınıń jaqınlasıwı yamasa alıslasıwı túbirdiń kishi átirapında tuwındınıń
ma`nisine baylanıslı ekenligin joqarıda kórgen edik. Lekin J. X. vegsteyn 1958 jılda iterasiya
metodın sonday ózgertiwdi usınıs etken ediki, bunı qollaǵanda dıń ma`nisi hár
qanday bolǵanda da iterasiya procesi jaqınlasadı. Mabada teńsizlik atqarılsa, ol
iterasiya procesine salıstırǵanda vegsteyn procesi tezirek jaqınlasadı.
Vegsteyn usılı
(17)
formuladan tabılǵan ni
(18)
formula járdeminde menen almastırıwdan ibarat bolıp, bunda q - kerekli túrde tańlap alınǵan muǵdar bolıp tabıladı. q dıń ma`nisin anıqlaw ushın 10-shızmadan paydalanamız.
Shama menen oylayıq, (10 ) formula járdeminde arqalı tabılǵan bolsın, yaǵnıy = . Ol waqıtta A hám B noqatlardıń koordinataları uyqas túrde ) hám boladı.
Bunday halda ushın eń qolay baha M noqattıń abssissası bolıp tabıladı. Onı tabıw ushın AB
kesma ústinde noqattı alamız. Endi (18) dıń hár eki tárepine
ni qosıp,
q( - (19 )
ni payda etemiz. Sızılmadan paydalanıp, (3. 17) ni
qAA=(1-q)BC (20 )
kóriniste jazıwımız hám
BC=MC=-AC <0)(21)
teńliklerdiń orınlı ekenligin kóriwimiz múmkin, bul jerde.
<
dıń ámeliy ma`nisin tabıw ushın
q ni ámeliy túrde tómendegishe almastıramız :
(22)
(20 )- (22) lardan

ni payda etemiz hám q dıń ámeliy ma`nisin tabamız :1
(23)

9 -sızılma
(18) hám (23) formulalardan kóremizki,
(24)
Bul formula xp+1 ornında isletiletuǵın dıń ma`nisin beredi. vegsteyn usılın ámelde
qóllaw ushın túbirdiń nolinchi jaqınlasıwı ǵa bir ret ápiwayı iterasiyani qóllaw kerek.
Bul birinshi qádemnen keyin ni tabıw ushın bolsa (10 ) formulanı qurılısda
qullaymiz. Biz bul jerde bul processtiń ápiwayı iterasiya procesine salıstırǵanda tezirek jaqınlasıwın
qatań túrde tiykarlab o'tirmasdan mısal keltiriw menen shegaralanamız.
Esaplaw qátesinińdiń iterasion processtiń jaqınlasıwına tásiri. Biz aldınǵı
punktlerde iterasion processtiń ideal modelin kórip shıqqan edik. Bul modelde ketmaketlikniig barlıq elementleri absolyut anıq esaplańai dep shama menen oylaingan edi. Tiykarınan bolsa qulda
esaplanayotganda da, mashinada esaplanayotganda da, biz amamalarni chekli muǵdardaǵı
nomerler ústinde atqaramız. Bunıń nátiyjesinde, yaǵnıy pútinlew esabınan, esaplaw qátesi kelip
shıǵadı. Iterasiyaning birinshi qádeminde ornına oǵan jaqınlaw bolǵan ónim
etemiz. Bul jerde esaplaw qátesi payda boladı. Ikknnchi qádemde bolsa qáte eki
sebepke kóre payda boladı : birinshiden funksiyada ornına qóyıladı, ekinshiden
pútinlew qátesi menen esaplanadı. Sonday eken, tabılǵan baha tek ámeliy túrde
ga teń: esaplaw qátesiniń bolıp tabıladı.
Sonday etip, iterasiya metodikalıqı qollayotganda izbe-izlik ornına
izbe-izlikke iye bolamız, bul jerde - esaplaw qátesi.
Joqarıda tastıyıq etilgen teoremaning juwmaǵı izbe-izlikke tiyisli bolǵanı
ushın, eger biz qosımsha shárt qo'ymasak, bul juwmaq izbe-izlik ushın orınlı
bolmaydı, xatto bul izbe-izlik túbirge jaqınlashmasligi da múmkin. Sol sebepli
tómendegi teoremani tastıyıq etemiz.
Nyuton metodı sanlı teńlemelerdi sheshiwdiń oǵırı effektiv metodı bolıp tabıladı. Bul
metoddıń abzallıǵı sonnan ibarat, esaplaw sxeması quramalı bolmaǵan halda izbe-iz
jaqınlasıwlar túbirge tez jaqınlasadı. Nyuton metodı iterasiya metodı sıyaqlı universal metod bolıp tabıladı.
Bul metod járdeminde sanlı teńlemelerdiń haqıyqıy hám kompleks túbirlerin tabıw hám de keń
klasstaǵı sızıqlı bolmaǵan funksional teńlemelerdi sheshiw múmkin. Formal kózqarastan
qarlaganda Nyuton metodı iterasiya metodınıń jeke holi bolıp tabıladı, tiykarınan bolsa bul metoddıń túp

ideyası iterasiya metodınıń ideyasınan tamaman ayrıqsha bolıp tabıladı. Bul metod sızıqlı máselelerdiń

izbe-izligin sheshiwge alıp keledi. Onıń ushın berilgen teńlemeden onıń bas sızıqlı
bólegi ajıratıp alınadı. Biz aldın bita sanlı teńleme ushın Nyuton metodın kórip shıǵamız. Boljaw
qilaylik, bizge
(25)
teńleme jáne onıń túbirine dáslepki jaqınlasıw ma`nisi berilgen bolsın. Bul jerde ni
jetkiliklishe tegis funksiya dep alamız. Ádetdegi sıyaqlı, (25) teńlemediń anıq túbirin arqalı
belgileymiz. Endi dep alıp, funksiyanıń noqat átirapındaǵı Teylor qatarı
yoyilmasidagi dáslepki eki hadini alıp nolǵa teńlestirsak, ga salıstırǵanda tómendegi
sızıqlı teńleme iye bolamız. Bul teńlemeni sheship, qáteniń ámeliy ma`nisin tabamız :. Bul teńlemeni ga keltirip qoyıp, náwbettegi jaqınlasıw
ni tabamız. Tap soǵan uqsas
(26 )
izbe-iz jaqınlasıwlardı payda etemiz. Bul formulalar járdeminde Nyuton izbe-izligin ónim
qılıw ushın lar funksiyanıń anıqlanıw salasında jatıw hám olar ushın
bolıwı kerek.
Nyuton metodı judda da ápiwayı geometriyalıq mániske iye. Asılında da,
funksiyanı
(27)
tuwrı sızıq menen almastıramız, bul tuwrı sızıq bolsa noqatda qıysıq
sızıqqa ótkerilgen urınba bolıp tabıladı. Nyuton metodı urınbalar metodı dep da júritiledi. Nyuton
metodın iterasiya metodınan keltirip shıǵarıw da múmkin, onıń ushın (25) teńlemediń
kanonik kórinisinde
dep alıw jetkilikli bolıp tabıladı.