Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini taqribiy yechishning oddiy iterasiya va Zeydel usullari. Iterasion jarayon yaqinlashishining zaruriy va yetarli shartlari

15 amaliy mashg’ulot
Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini taqribiy yechishning oddiy iterasiya va Zeydel usullari. Iterasion jarayon yaqinlashishining zaruriy va yetarli shartlari.

1. 
   Oddiy iterasiya usuli
   

Chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasini taqribiy yechishda Nyuton va oddiy iterasiya usullari qo’llaniladi. Nyuton va oddiy iterasiya usullarining chiziqli bo’lmagan ikkita tenglama sistemasi uchun qo’llanilishini qaraylik.
(15.1.1)
tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsin. Nyuton usuliga ko’ra taqribiy hisoblashlar
(15.1.2)
iterasion formulalardan hisoblanadi.
Bu yerda
,

Dastlabki yaqinlashish grafik yoki boshqa usullar yordamida aniqlanadi.
1-Misol. Quyidagi

sistemaning yechimini Nyuton usulida taqribiy hisoblang.
Yechish. Grafik usulda dastlabki yaqinlashish aniqlangan bo’lsin. U holda
, demak
(15.1.2) formulaga ko’ra



Hisoblashlarni shu singari davom qilib topamiz va hisoblashlarni talab qilingan aniqlikkacha davom ettiramiz.
(15.1.1) sistemani
(15.1.3)
ko’rinishda yozib olamiz. funkiyalar iterasiyalovchi funksiyalar deb yuritiladi. Taqribiy yechimni topish algoritmi
(15.1.4)
ko’rinishda beriladi. Bu yerda - birinchi yaqinlashish qiymatlari.
(15.1.4) iterasion hisoblash jarayoni yaqinlashuvchi bo’ladi, agarda
(15.1.5)
tengsizliklar bajarilsa.
2-Misol. Quyidagi

sistemaning yechimini oddiy iterasiya usulida 0,001 aniqlikda taqribiy hisoblang.
Yechish. Iterasiya usulini qo’llash uchun berilgan sistemani

ko’rinishda yozib olamiz.
kvadrat sohani qaraylik. Agar shu sohaga qarashli bo’lsa, u holda o’rinli bo’ladi. Demak shu sohadan ixtiyoriy tanlaganimizda ham ham o’sha sohaga tegishli bo’ladi. Bundan esa (15.1.5) yaqinlashish shartining bajarilishi kelib chiqadi, ya’ni

o’rinli bo’ladi. Demak, qaralayotgan kvadrat sohada yagona yechim mavjud va uni iterasiya usuli yordamida taqribiy hisoblash mumkin. Dastlabki yaqinlashishni deb olaylik.


Hisoblashlarni shu singari davom ettirib

bo’lishini aniqlaymiz. bo’lganligidan va uchinchi va to’rtinchi taqribiy yechimlarning kasr qismidagi uchta raqamining mos kelishi talab qilingan aniqlikka erishilganini bildiradi. Taqribiy yechim sifatida qiymatlarni olish mumkin.