Kompleks sonning algebraik, geometrik, trigonometrik va ko’rsatkichli shakllari. Kompleks sonlar ustida amallar

Kompleks sonning algebraik, geometrik, trigonometrik va ko’rsatkichli shakllari. Kompleks sonlar ustida amallar.
1.Ta’rif. va haqiqiy sonlar, esa( )qandaydir bir simvol bo’lsa, (1)

ifodaga kompleks son (algebraik shakli) deyiladi, bunda quyidagi shartlar qabul qilingan deb hisoblanadi:

1) ; va ; ;

2) faqat , bo’lgandagina , bo’ladi;

3) ;

4) .

kompleks sonda , bo’lsa, mavhum son deyiladi. son mavhum birlik deyiladi . va sonlar kompleks sonning mos ravishda haqiqiy va kompleks qismi deyiladi va , ko’rinishda belgilanadi . bulsa, - haqiqiy son, agar bo’lsa, sof mavhum son bo’ladi. Mavhum qismlarining ishorasi bilangina farq qiluvchi va kompleks sonlar qo’shma kompleks sonlar deyiladi .

Agar va ikkita kompleks son berilgan bo’lsa, ular ustida algebraik amallar quyidagicha bajariladi:

Kompleks sonlarni darajaga ko’tarish ikkihadni darajaga ko’tarish

kabi bajariladi, sonnining darajalari quyidagi formulalar bo’yicha aniqlanadi. va h.k.

Umuman, , . (3)

1-misol. va sonlarning yig’indisi va ayirmasini toping
Yechish. (2) formulaning birinchi va ikkinchisidan quyidagilarni topamiz:
,

.

2-misol. va kompleks sonlar ko’paytmasini toping.

Yechish. (2) formulaga ko’ra quyidagini hosil qilamiz:

Har bir kompleks son geometrik jihatdan koordinatlar tekisligining nuqtasi yoki vektori bilan tasvirlanadi.

Kompleks son tasvirlanadigan tekislik kompleks tekislik deyiladi.

kompleks soniga mos keluvchi nuqtaning holatini va qutb koordinatlari bilan ham aniqlash mumkin.

Bunda koordinatlar boshidan nuqtagacha bo’lgan masofaga, soni kompleks sonning moduli deyiladi va bilan belgilanadi; vektorning o’qining musbat yunalishi bilan hosil qilgan burchak kompleks sonning argumenti deyiladi va kabi belgilanadi.

kompleks son uchun quyidagi formula o’rinlidir:

(4)

bunda ning qiymati shartni qanoatlantiradi.

3-misol. kompleks sonning moduli va argumentini toping.

Yechish. bo’lganligi uchun tenglamadan argumentni topamiz:

.

Shunday qilib,

Kompleks sonning ko’rinishdagi ifodasi kompleks sonning algebraik shakli deyiladi.

Kompleks sonning ko’rinishdagi ifodasi uning trigonometrik shakli deyiladi.

Trigonometrik ko’rinishda berilgan kompleks sonlar ustida amallar quyidagicha bajariladi :



(5)
(6)

(7)
, (8)

bunda k=0,1,2,..,(n-1).

(7) va(8) formulalarga Muavr formulalari deyiladi.

Kompleks sonning ko’rsatkichli shakli

ko’rinishda bo’lib,

(9)

(9) formulaga Eyler formulasi deyiladi.

4-misol. sonni sakkizinchi darajaga ko’taring.

Yechish. Berilgan sonni trigonometrik formada tasvirlaymiz:

Muavr formulasiga ko’ra quyidagini hosil qilamiz:

Misollar.

1. 
   Ifodaning qiymati nechaga teng (bunda ):
   
2. 
   Ifodaning qiymati nimaga teng:
   
3. 
   Ildizning qiymatlaridan birini aniqlang:
   
4. 
   Kompleks sonning moduli nimaga teng:
   
5. 
   Kompleks sonning argumenti nimaga teng:
   
6. 
   Kompleks sonning argumenti nimaga teng:
   
7. 
   Kompleks sonning trigonometrik shaklini aniqlang:
   
8. 
   Kompleks sonning trigonometrik shaklini toping:
   
9. 
   hisoblang.
   
10. 
    hisoblang.
    
11. 
    hisoblang.
    
12. 
    hisoblang.
    
13. 
    hisoblang.
    
14. 
    hisoblang.
    
15. 
    hisoblang.
    
16. 
    hisoblang.
    
17. 
    z kompleks sonning modulini toping:
    
18. 
    z kompleks sonning modulini toping:
    
19. 
    z kompleks sonning modulini toping:
    
20. 
    Z kompleks sonning argumentini toping:
    
21. 
    Z kompleks sonning argumentini toping:
    
22. 
    Z kompleks sonning argumentini toping:
    
23. 
    Z kompleks sonning argumentini toping:
    
24. 
    Z kompleks sonning argumentini toping:
    
25. 
    Z kompleks sonning argumentini toping:
    
26. 
    Z kompleks sonning argumentini toping:
    
27. 
    Z kompleks sonni hisoblang:
    
28. 
    Quyidagi tenglamadan foydalanib, _{ni hisoblang.}
    
29. 
    Quyidagi tenglamadan foydalanib, _{ni hisoblang.}
    
30. 
    Quyidagi kompleks sonlar berilgan, _{ni hisoblang.}
    
31. 
    Quyidagi kompleks sonlar berilgan, _{ni hisoblang.}
    
32. 
    Quyidagi kompleks sonlar berilgan, _{ni hisoblang.}
    
33. 
    Quyidagi kompleks sonlar berilgan, _{ni hisoblang.}
    
34. 
    _{ni hisoblang.}
    
35. 
    Kompleks sonning ko’rsatkichli shakli berilgan: Uning algebraik shaklini toping.
    
36. 
    Kompleks sonning ko’rsatkichli shakli berilgan: Uning algebraik shaklini toping.
    
37. 
    Hisoblang:
    
38. 
    Quyidagi tenglamadan foydalanib, _{ni hisoblang.}
    
39. 
    Quyidagi kompleks sonlar berilgan, _{ni hisoblang.}
    
40. 
    Quyidagi kompleks sonlar berilgan, _{ni hisoblang.}
    
41. 
    Quyidagi kompleks sonlar berilgan, _{ni hisoblang.}
    
42. 
    Quyidagi kompleks sonlar berilgan, _{ni hisoblang.}
    
43. 
    _{ni hisoblang.}