Kompleks sonni geometrik tasvirlash. Kompleks tekislik. Riman sferasi

3. Kompleks sonli ketma–ketliklar va qatorlar.
Bizga
z₁, z₂, ... , z_n, ...
Kompleks sonlar ketma-ketligi va aS son berilgan bo’lsin.
9-ta’rif: Agar Shunday M>0 son mavjud bo’lsaki, nN uchun |z_n|M bo’lsa, {z_n} ketma-ketlik chegaralangan deyiladi.
10-ta’rif: Agar  > 0 son olinganda ham Shunday n₀()  N topilsaki, n>n₀ uchun |z_n-a| <  tengsizlik bajarilsa, aC son {z_n} ketma-ketlikning limiti deyiladi va

ko’rinishda belgilanadi.
Chekli limitga ega ketma-ketlik yaqinlashuvchi ketma-ketlik deyiladi.

ni ta’riflang.


Yaqinlashuvchi ketma–ketliklarni xossalari.
1. {z_n} ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda u chegaralangan bo’ladi.
2. Agar {z_n} va {z_n ^‘} ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda { z_n  z_n^’ }, { z_n  z_n^’ }, (z_n^’  0 ) ketma-ketliklar ham yaqinlashuvchi bo’ladi va


bo’ladi.
Bu xossalar haqiqiy sonlar ketma-ketligi uchun qanday isbotlansa, xuddi Shunday isbotlanadi.
11-ta’rif: Agar  > 0 son olinganda ham Shunday n₀()  N topilsaki, n>n₀ uchun va r  N sonlar uchun |z_n–z_n+p | <  tengsizlik bajarilsa, {z_n} fundametal ketma-ketlik deyiladi.
Teorema: (Koshi kriteriyasi) {z_n} ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo’lishi uchun uning fundamental bo’lishi zarur va yetarli.
Isboti: (mustakil).
Ushbu
z₁+ z₂+ ... + z_n +... = (1)
ifodaga sonli qator deyiladi, bu yerda z₁, z₂,..., z_n,...lar berilgan chekli sonlar.
(1) qatorning birinchi n ta hadining yig’indisini S_n deb belgilaylik, ya’ni
S_n=
Agar {S_n} ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo’lsa, (1) qator yaqinlashuvchi deyiladi, aks holda bu qator uzoqlashuvchi deyiladi. Agar S= bo’lsa, S soni (1) qatorning yig’indisi deyiladi.
(1) qator bilan birga qatorni qaraymiz. Agar qator yaqinlashuvchi bo’lsa u holda (1) qator absolyut yaqinlashuvchi deyiladi.
Agar (1) qator yaqinlashuvchi bo’lib, qator uzoqlashuvchi bo’lsa, (1) qator shartli yaqinlashuvchi deyiladi.

Tayanch iboralar: kompleks sonni gometrik tasviri, kompleks tekislik, Riman. sferasi, stereografik proeksiya, Evklid metrikasi, sferik metrika, Egri chiziq, Jordan chizigi, silliq chiziq, limit nuqta, ichki nuqta, yopiq to’plam, ochiq to’plam, bog’lamli to’plam, soha, sohaning chegarasi, nuqtani atrofi, nuqtani o’yilgan atrofi, bir bog’lamli soha,kup bog’lamli soha, sonlar ketma-ketligi, ketma-ketlik limiti, yaqinlashuvchi ketma-ketlik, uzoqlashuvchi ketma-ketlik, fundamental ketma-ketlik, sonli qator.