Kompleks sonni geometrik tasvirlash. Kompleks tekislik. Riman sferasi

Kompleks tekislikda chiziqlar va sohalar. Kompleks sonlar ketma-ketligi va uning limiti. Qatorlar.


1. Kompleks tekislikda chiziqlar.
Egri chiziqni tekislikda nuqtaning uzluksiz harakati natijasida koldirgan izi deb qarash mumkin. Harakatdagi nuqtaning koordinatalarini x va u deyilsa, ravshanki ular biror t o’zgaruvchining uzluksiz funksiyalari bo’ladi:

Ayni paytda (x,y) juftlik kompleks sonni ifodalagani sababli, uni z=x + iy ko’rinishda yozish mumkin. Natijada, z = x + iy = x(t) + iy(t) = z(t)
bo’ladi.
Demak,
z = z (t) (   t   )
funksiya [,] segmentni kompleks tekislik nuqtalariga akslantiradi va bu nuqtalar to’plami esa kompleks tekislikda egri chiziqni ifodalar ekan. Bunda z₀=z ( ) egri chiziqning boshlang’ich nuqtasi, z₁=z ( ) esa egri chiziqning oxirgi nuqtasi bo’ladi.
Agar bo’lsa, bunday egri chiziq yopiq deyiladi.
Agar z=z(t) egri chiziqda t o’zgaruvchining ikkita turli t₁ va t₂ ( ) qiymatlariga mos keladigan z (t₁) va z (t₂) nuqtalar ham turlicha bo’lsa, u holda egri chiziq Jordan chizigi deyiladi.
Agar x(t) va y(t) funksiyalar [a,b] cegmentda uzluksiz differensiallanuvchi bo’lib,
z’(t) = x’(t) + iy’(t)  0 shartni qanoatlantirsa,
z’(t) = z(t) = x’(t) + iy’(t) egri chiziq silliq egri chiziq deyiladi.
2. Kompleks tekislikda ochiq va yopiq to’plamlar. Sohalar.
Biror z₀C nuqta va ­  > 0 son berilgan.
1-ta’rif: Ushbu U( z₀,  )={ z  C : | z - z₀ | <  } to’plamga z₀C nuqtaning  - atrofi deyiladi.
Sho’nga o’xshash z₀ uktaning  - atrofi tushunchasi kiritiladi:
( z₀,)={z :(z,z₀)<}
Ushbu
{ z  C : 0 < | z - z₀ | <  }
({ z  : 0 < ( z, z₀ ) <  })
to’plam z₀C (z₀ ) nuqtaning o’yilgan atrofi deyiladi.
Faraz qilaylik C da biror D to’plam berilgan bo’lsin.