Kompleks o’zgaruvchili funksiyaning integrali va uning xossalari

Shunday qilib M=0, ya’ni

bo’ladi.

2) egri chiziq ko’pburchak konturidan iborat bo’lsin: =P

Ravshanki, ko’pburchak chekli sondagi uchburchaklarga ajraladi va

integral esa bu uchburchaklar bo’yicha olingan integrallar yig’indisiga teng bo’ladi. Uchburchaklar bo’yicha olingan integrallarning har biri 1) holga binoan nolga teng bo’ladi.

Binobarin,

bo’ladi.

3) egri chiziq ixtiyoriy silliq (bo’lakli silliq) yopiq egri chiziq bo’lsin. Integralning 6-xossasiga ko’ra D sohaga tegishli bo’lgan shunday P ko’pburchak topiladiki,

bo’ladi, bunda ixtiyoriy musbat son 2) holga binoan

demak,

bundan esa

bo’lishi kelib chiqadi. Teorema to’liq isbot bo’ldi.

Natija 1. Agar f(z) funksiya bir bog’lamli D sohada golomorf bo’lsa, u holda f(z) funksiyaning integrali integrallash egri chizig’iga bog’liq bo’lmaydi, ya’ni boshlang’ich va oxirgi nuqtalari umumiy hamda D sohada yotuvchi va egri chiziqlar uchun

bo’ladi.

2. Koshi teoremasini umumlashtirish.

Aytaylik, D chegarlangan bir bog’lamli soha bo’lib, uning chegarasi silliq (bo’lakli silliq) yopiq egri chiziqdan iborat bo’lsin.

Teorema: Agar bo’lsa, u holda

bo’ladi. Bu erda ni yo’nalishi musbat yo’nalish.

soha berilgan bo’lsin. D soha chegarasi ni orientirlangan yo’nalish deb shunday yo’nalishga aytiladiki, bu yo’nalish bo’yicha chegarada harakat qilganda soha har doim chap tomonda qoladi.

Teorema: (Ko’p bog’lamli soha uchun Koshi teoremasi)

Agar f(z) funksiya ko’p bog’lamli D sohada golomorf va da uzluksiz bo’lsa, u holda

bo’ladi.

Bu erda integral chegarani orientirlangan yo’nalishi bo’yicha olinyapti.