Kompakt metrik fazolar

15-tа’rif. Bizga ( X , ) topologik fazo va uning nuqtalaridan iborat {x_n } X kеtmа-kеtlik, x X nuqta bеrilgаn bo‘lsin. Аgаr x nuqtaning iхtiyoriy U ( x) аtrоfi uchun shundаy N natural sоn mаvjud bo‘lib, n N bo‘lgаndа, x_n U ( x) munosabat o‘rinli bo‘lsа, {x_n } kеtmа-kеtlik x nuqtаgа yaqinlаshаdi dеyilаdi.

16-tа’rif. Topologik fazoda A ( X , ) to‘plam berilgan bo‘lsin. Biror x A nuqtaning shunday U atrofi mavjud bo‘lib, U A x munosabat o‘rinli bo‘lsа, bu x nuqta A to‘plamning ajralgan nuqtasi deyiladi.

17-tа’rif. Topologik fazoda A ( X , ) to‘plam berilgan bo‘lsin. Agar x A nuqtaning ixtiyoriy U atrofida A to‘plamning x nuqtadan farqli nuqtalari mavjud bo‘lsa, bu x nuqta A to‘plamning limit nuqtasi deyiladi.

Masalalar yechish namunalari

1- masala. Bizga ( X , ) topologik fazo berilgan bo‘lsin. Topologik fazo aksiomalaridan foydalanib, yopiq to‘plamlar uchun quyidagi xossalarni isbotlang:

1) X yopiq to‘plam;

2) bo‘sh to‘plam yopiq to‘plam;

3) chekli sondagi yopiq to‘plamlarning birlashmasi yopiq to‘plam;

4) ixtiyoriy sondagi yopiq to‘plamlarning kesishmasi yopiq to‘plam.

Yechish. 1) Bo‘sh to‘plam topologiyaga tegishli, topologiyaga tegishli

to‘plamni ochiq deb ataganmiz. X esa, ochiq to‘plamning to‘ldiruvchisi sifatida yopiq to‘plam, chunki uni X X \  ko‘rinishida yozish mumkin.

2) X to‘plam topologiyaga tegishli, topologiyaga tegishli to‘plamni ochiq deb ataganmiz. Bo‘sh to‘plam esa ochiq to‘plamning to‘ldiruvchisidan iborat bo‘lganligi sababli, yopiq to‘plam, chunki uni X \ X ko‘rinishida yozish mumkin.

3) Endi chekli sondagi yopiq to‘plamlarning birlashmasi yopiq to‘plam ekanligini isbotlaymiz. Bizga yopiq to‘plamlar oilasi berilgan bo‘lsin. Bu oiladan ixtiyoriy tarzda chekli sondagi to‘plamlar ajratib olib, ularning birlashmasi yopiq ekanligini isbotlashimiz kerak. Berilgan yopiq to‘plamlar sistemasidan ixtiyoriy olingan yopiq to‘plamlarni kabi belgilaylik. Endi to‘plamni yopiqligini isbotlashimiz kerak. Buning uchun X \ F to‘plamni ochiqligini isbotlash yetarli.

2-masala. Sanoqlilkning birinchi aksiomasi bajarilmagan topologik fazoga misol keltiring.

Yechish. Bizga X R¹ haqiqiy to’g’ri chiziq va Y (R¹ \ N ) { y₀} to‘plam berilgan bo‘lsin (by yerda y₀ R ). Berilgan X to‘plamning har bir x nuqtasiga quyidagi munosabat bilan

nuqtani mos qo‘yilgan bo‘lsin. Quyidagi yopiq to‘plamlar {A Y : f ^1 ( A) to'plam X da yopiq} oilasi yordamida Y to‘plamda kiritilgan topolgiya qaraymiz. Yuqoridagi f : X Y akslantirish yopiq ekanligini ko‘rsatish qiyin emas. Ravshanki, y₀ nuqtaning Y topologik fazodagi atroflari (U \ N ) { y₀} ko‘rinishda bo‘ladi (bu yerda U to‘plam N to‘plamni o‘z ichiga oluvchi X topologik fazodagi ochiq to‘plam).

Endi y₀ nuqtaning ixtiyoriy (U₁ \ N ) { y₀ } , (U ₂ \ N ) { y₀ }, (U ₃ \ N ) { y₀ } ,... atroflari ketma-ketligini qaraymiz. Har bir i 1, 2, 3,... uchun x_i i shartni qanoatlantiruvchi x_i U _i \ N nuqta tanlaymiz. Ushbu U X \ {x₁ , x₂ , x₃ ,...} to‘plam N to‘plamni o‘z ichiga oluvchi X topologik fazodagi ochiq to‘plamdir. Shuday qilib, y₀ nuqtaning V (U \ N ) { y₀ } atrofini hosil qildik. Bu hosil qilingan atrof {x₁ , x₂ , x₃ ,...} ketma- ketlikning birorta ham elementini o‘z ichiga olmaydi. Demak, Y topologik fazo y₀ nuqtaning atrofida sanoqli bazaga ega emas, ya’ni sanoqlilikning birinchi aksiomasi bajarilmas ekan.