Kompakt metrik fazolar

Masala yechish namunalari
1-masala. Bizga X , Y topologik fazolar va A X , B Y kompakt to‘plamlar bo‘lsa, A B to’g’ri ko‘paytma ham X Y fazoda kompakt to‘plam bo‘lishini isbotlang.

Yechish. Avval (x, y) x qoida bilan aniqlangan pr : X Y X akslantirish(proeksiya)da yopiq to‘plamning aksi yopiq to‘plam ekanligini ko‘rsatamiz.

Buning uchun F to‘plam X Y ko‘paytmaning yopiq qism to‘plami bo‘lsin deb faraz qilaylik. Bu F to‘plamning obrazi pr (F ) ning X topologik fazoda yopiq to‘plam ekanligini ko‘rsatish uchun uning to‘ldiruvchisi G X \ pr( F ) ning ochiq to‘plam ekanligini ko‘rsatish kerak. Avval olingan F to‘plamdan x₀ G nuqta olamiz. Bu nuqta uchun ( x₀ ,Y ) X Y \ F munosabat bajariladi. X Y \ F ochiq to‘plam ekanligidan ixtiyoriy y Y uchun ( x₀ , y) juftlik birorta U ( x₀ , y) V _y ( x₀ ) V _y atrofi bilan X Y \ F to‘plamda yotadi. Bu yerda V _y ( x₀ ) to‘plam x₀ nuqtaning X topologik fazodagi atrofi bo‘lib, u V _y ( x₀ ) G munosabatni qanoatlantiradi. Demak, G ochiq to‘lpamdir. Bundan esa pr (F ) to‘plamning yopiq to‘plam ekanligi kelib chiqadi.

Endi, agar  ^U oila A B to‘plamning ochiq qobig’i bo‘lsa, undan A B uchun chekli qobiq ajratish mumkinligini isbotlash kerak. Har bir uchun ^{U U U ko‘rinishda bo‘ladi. Bu yerda U }^{X U Y ochiq to‘plamlardir.} Birorta x A nuqta uchun {x}B ni qaraylik. {x}B to‘plam B ga gomeomorf bo‘lgani uchun kompakt to‘plamdir. Shuning uchun oiladan {x}B uchun chekli qobiq ajratish mumkin. to`plamlar {x}B uchun dan ajratilgan chekli qobiq bo`lsa, ochiq to`plam bo`lganligi uchun uning

<sup>to`ldiruvchisi</sup> F<sub>x</sub> X Y \ G<sub>x</sub> yopiq to`plamdir. Yuqorida isbotlaganimizga ko‘ra, ^prFx ^{yopiq to`plamdir. A</sup>x <sup>to`plam prF}x ^{to‘plamning to‘ldiruvchisi bo‘lsa, u A}x ^{B G}x ^{munosabatni qanoatlantiradi. Demak,} oila uchun ham qobiqdan ajralgan chekli qobiqdir. Endi {A_x : x A} oila A to‘plam uchun qobiq va A kompakt bo‘lgani uchun undan A uchun chekli qobiq ajratish mumkin. Bu oiladan A uchun ajralgan chekli qobiq to‘plamlardan iborat bo‘lsin. Demak, Biroq, har bir A_xi B uchun dan chekli ^{qobiq ajratish mumkin. Lekin,} bo‘lganligi uchun dan A B uchun ham chekli qobiq ajratish mumkin. Demak, A B kompakt to‘plamdir.