Kompakt ha’m bikompakt ken’islikler

KOMPAKT HA’M BIKOMPAKT KEN’ISLIKLER

Bul paragrafda tapologik keńislikler klasınıń eń zárúrli bólimlerinen

biri bikompakt hám kompakt keńislikler uyreniledi. Bul klass qatlamlar tilinde

bayanlainsa-de, abstrakt, lekin qolay ózgesheliklerge iye. Bikompakt keńislikler

sap tapologik keńisliklaming tiykarǵı túsiniklerinen biri esaplanadı.

2. 7. 1-tariyp. (X, ) tapologik keńislik hám U~{U_a :U_a X, A jıynaqlar sisteması berilgen bolsın. Eger X =U{U_a : , A} orınlı

bolsa, U sistema X tiń qatlamı dep ataladı. Eger qatlamdıń

elementleri ashıq jıynaqlar bolsa, ol qatlam ashıq qatlam dep ataladı.

2. 7. 2-tariyp. Eger tapologik keńisliktiń qálegen ashıq qatlamınan

(qatlam elementleri ashıq jıynaqlar ), chekli qatlamosti ajıratıp alıw

múmkin bolsa, bul tapologik keńislik bikompakt dep ataladı.

Xausdorf bikompakt keńislikler klası bikompakt bolıp tabıladı.

Bul tariypdan usıdan ayqın boladı, qálegen trivial tapologik keńislik bikompakt

keńislik eken. Qálegen diskret keńislik bikompakt keńislik bolıwı ushın onıń

elementleri chekli bolıwı zárúr hám jetkilikli bolıp tabıladı.

2. 7. 3-mısal. Zarisskiy tapologiyasi kiritilgen qálegen sheksiz X

jıynaqtı alaylıq. Bul tapologik keńislik, aytıp ótildiki, Xausdorf keńisligi emes.

Lekin bul keńislik bikompakt keńislik boladı. Rasında da, X keńisliktiń

qálegen S = {U_a : , A} ashıq qatlamın alaylıq. Bul tapologik keńislik

ózgeshelikine qálegen A ushın U_a jıynaqlar sheksiz jıynaqlar bolıp tabıladı.

Sol sebepli sonday A alamızki, Ol U_a0 X ha’m X- U_a0= F_a0

jıynaq chekli jıynaqtan ibarat. Aytaylik, F_a0={x₁, x₂,.. .., x_n} bolsın,

bul jerde x_i X, i=1,n S kompleks qatlam bo'Iganligi sebepli sonday

U_a0, U_a1,.. .., U_an lar X keńisliktiń chekli qatlamı boiadi. Sonday eken, bul

keńislik bikompakt keńislik eken.

2. 7. 4-tariyp. Eger tapologik keńisliktiń qálegen sanaqlı ashıq qalta -

lamasidan chekli qatlamostini ajıratıw múmkin bolsa, bul tapologik keńislik

sanaqlı -kompaktlı keńislik dep ataladı.

Sanaqlı -kompaktlı keńisliktiń tómendegi xarakteristikaın tastıyıqsız keltiremiz.

2. 7. 5-teorema. Tapologik T₁ keńislik sanaqlı -kompaktlı bolıwı ushın

onıń qálegen sheksiz jıynaqostisi limit noqatqa iye bolıwı zárúr hám

jetkilikli bolıp tabıladı.

2. 7. 6 -tariyp. Eger tapologik keńisliktiń qálegen qatlamınan sanaqlı

qatlamosti ajıratıp alıw múmkin bolsa, bunday tapologik keńislik final-

kompaktlı dep ataladı.

Bunnan usıdan ayqın boladı, bikompaktlilik eki sanaqlı -kompaktlılıq

hám de final- kompaktliliklarning logikalıq birlespelerinen ibarat eken.

Bikompaktlilik termini de sonnan kelip shıqqan.

Sonı atap ótiwimiz múmkin, keńislikostining nasliy qasiyetke iye

bolıw ózgesheligi sanaqlı -kompaktlıq, final-kompaktlıq hám bikompakt-

lilikning jabıq jıynaqostilarida orınlı boladı. Tómendegi teoremani

tastıyıqsız keltiremiz.

2. 7. 7-teorema. Regulyar hám fmal-kompaktlı keńislik normal bolıp tabıladı.

2. 7. 8-teorema. Qálegen bikompakt normal bolıp tabıladı.

Tastıyıq. 2. 7. 7-teoremaga tiykarınan, qálegen bikompaktning regulyar

ekenligin kórsetiw jetkilikli bolıp tabıladı. Qálegen x X hám F X jabıq

jıynaqtı alamız, bul jerde x F. Ol halda qálegen y F noqat ushın x

hám y ol noqatlardıń O_x(y), O_y óz-ara kesilispeytuǵın átirapları bar. Bul

jerde {F O_y : y F} kompleks F jıynaqtıń qatlamın tashkil

etedi. Aytıp ótkenimizga kóre, bikompaktlilik jabıq tap 'plamlarda

nasliy bolǵanlıǵı sebepli, {F O_y : y F} qatlamnan chekli X= {F O_y1, …… {F O_yn :qatlamosti ajıratıp alıw múmkin. Endi

Ox = _y (y₁) ha’m OF= _y alamız. Bul jıynaqlar X = _n U_n U_n+1 toshka ha’m F jıynaqtıń óz-ara kesilispeytuǵın átirapları boladı.

Tómendegi eki teoremani tastıyıqsız keltiremiz.

2. 7. 9 -teorema. Qálegen sanaqlı -kompaktlı metrik keńislik sanaqlı

bazaǵa iye.

2. 7. 10 -teorema. Qálegen sanaqlı -kompaktlı metrik keńislik bikom-

pakt bolıp tabıladı.

Bul eki teorema hám joqarıda keltirilgenlerden usıdan ayqın boladı, metrik

keńisliklerde sanaqlı -kompaktlıq hám bikompaktlik bir qıylı eken. Sol sebepli

endigiden metrik bikompaktlilikni kompakt dep ataymız.

2. 7. 11-teorema. Sanlar tuwrı sızıǵı R¹ de qálegen kesma

kompakt bolıp tabıladı.

IsboL Tuwrı sızıq R¹ de [0, l] kesmani alaylıq hám [0, l] dıń

qálegen S = {U_a : A ) ashıq qatlamı bolsın, bul jerde qálegen

A ushın U_a⊂ R, U_a ashıq jıynaqlar bolıp tabıladı. Endi bul S qatlamdıń

chekli qatlamostisi bar ekenligin kórsetemiz, eger S sistemanıń jabıq

[0, ₀ ] kesmani qoplovchi chekli sistemaostisi ámeldegi b o isa Bul halda

[0, 1] kesmaning X₀ [0, 1 ] noqatın belgilengen deymiz. Barlıq belgi-

langan noqatlar kompleksin M menen belgileymiz.

Ekenin aytıw kerek, x = 0 noqat belgilengen noqat bolıp tabıladı, yaǵnıy O M. Bul

jerde M 0 Endi = supM noqattı alaylıq. noqattıń belgilengen

ekenligin kórsetemiz, yaǵnıy M. Eger U_a0 bolsa, ol halda Ol

dıń ashıq jıynaq ekenligi sebepli sonday| M tabıladıki, ol ushın

0 < < hám [ , ] kesma pútkilley U_a0 de jatadı. noqattıń belgi­

langan ekenliginen S sistemanıń sonday chekli U_a0, U_a1,.. .., U_an bólim

sisteması tabıladıki, bul bólim sistema [0, ] kesmani qoplaydi. Usınıń sebepinen

U_a0, U_a1,.. .., U_an bólim sistema [ 0, ] ni qoplaydi. Sonday eken, I.

Endi biz dıń [0, 1] kesma ekinshi uchi menen ústpe-úst

túsiwin kórsetiwimiz kerek. Boljaw qilaylik, . Ol halda Ol

jıynaqtıń ashıq ekenliginen sonday , ( ) tabıladıki, onıń ushın

. Sonlıqtan, bólim sistema U_a0, U_a1,.. .., U_an elementleri birlespesi [ 0, ] ni qoplaydi. Bunnan M.

. Bul bolsa, = supM ga zid bolıp tabıladı.

2. 7. 12-teorema. Bikompakt keńisliklerdiń úzliksiz obrazı bikompakt

keńislik bolıp tabıladı.

IsboL f : X Y úzliksizakslantirishberilganboMsin. Buyerda X

bikompakt keńislik hám Y qálegen keńislik. T={V_j : I J } sistema Y tapologik

keńisliktiń qálegen ashıq qatlamı bolsın. f akslantirishning uzluk-

sizligiga kóre, S = { U_i=f^-1(V_j ): i J }sistema X bikompakt keńisliktiń

ashıq qatlamın tashkil etedi. X dıń bikompakt ekenliginen S

qatlam chekli S bólim qatlamdı óz ishinde saqlaydı. S qatlamǵa

kiretuǵın barlıq ashıq jıynaqlardıń obrazı chekli bólim qatlam tashkil

etedi. Bul qatlamdı T menen belgileymiz. T qatlam T qatlamdıń

bólim qatlamı bolıp tabıladı. Sonday eken, Y keńislik bikompakt keńislik eken.

2. 7. 13-misoI. Eger X qandayda-bir bikompakt Y keńisliktiń faktor keńisligi

bolsa, uholda X bikompakt keńislik boladı.

Rasında da, X keńislik Y dıń úzliksiz proeksiyasınan ibarat

boladı. Sonday eken, X bikompakt keńislik eken.

2. 7. 14-mısal. X tapologik keńislik retinde R' tuwrı sızıqtı alaylıq.

Bul keńisliktiń { (-n, n): n } qatlamınan chekli qatlamdı ajıratıp bolmaydı. Usınıń sebepinen R1 keńislik kompakt keńislik emes. Tómendegi eki teoremani

tastıyıqsız keltiremiz.

2. 7. 15-teorema. Rn keńisliktiń qálegen jabıq hám shegaralanǵan

jıynaqostisi kompakt bolıp tabıladı.

2. 7. 16 -teorema. Kompakt keńisliklerdiń qálegen sisteması {X_a : A )

dıń Tixonov kóbeymesi X_a= X bikompakt bolıp tabıladı.

2. 7. 17-mısal.

a) Sⁿ - sfera; G = S1 x S² x.... x S¹ - tar;

b) RPⁿ - proektiv keńislik;

d) Sⁿ/U_p - linza keńisligi;

e) Iⁿ = [0, l]x [0, l]x... .... x[0, l] -kub ;

f) M² -Miyobius beti biokompakt keńislikler bolıp tabıladı.

Haqıyqattan da, S" - sfera, Tⁿ - tar, Iⁿ - kub, M²- Miyobius

beti jabıq hám shegaralanǵan bolǵanlıǵı ushın kompakt bolıp tabıladı. RPⁿ pro-

ektiv keńislik bolsa, Sⁿ dıń syurektiv obrazı bolǵanı ushın bikompakt bolıp tabıladı.

Linza keńisligi Sⁿ /U_p da Sⁿ dıń faktor keńisligi bolǵanlıǵı sebepli bikom­

pakt bolıp tabıladı.