4-§. Tolıq differensialli teńlemeler. Integraltovchi kóbeytiwshi

4-§. Tolıq differensialli teńlemeler. Integraltovchi kóbeytiwshi.
Eger
P(x,y)dx+Q(x,y)dy =0 (1)
teńlemeniń shep tárepin qandayda-bir U(x,y) funksiyanıń tolıq differensiali,yaǵnıy P(x,y)dx+Q(x,y)dy=dU(x,y) (2)
bolsa, (1) teńleme tolıq differensialli teńleme dep ataladı.
Bul halda onı dU(x,y)=0 kóriniste jazıw múmkin jáne bul jerden U(x,y)=C ulıwma integralǵa iye bolamız.
Bul jerde P (x, y) hám Q(x,y) funksiyalar D tarawda anıqlanǵan hám úzliksiz bolıp, úzliksiz , dara tuwındılarǵa iye bolıwı talap etiledi.
Bul jaǵdayda bul P(x,y)dx + Q(x, y)dy differensial ańlatpa qandayda-bir U(x, y) funksiyanıń tolıq differensiali bolıwı ushın D oblasttıń barlıq noqatlarında
(3)
teńliktiń orınlanıwı zárúr hám jetkilikli bolıp tabıladı.

ańlatpanı (2) menen salıstırsaq
(4)

teńliklerine iye bolamız.
Endi U funksiyanı tabıw ushın y ti fiksirlab (4) ti integrallaymız:

C(y) ti tabıw ushın bul teńlikti y boyınsha differensiallaymiz:

Bul jerden
Demek,
hám
+
Demek berilgen teńlemeniń uliwma integralı tómendegi kóriniste boladi:
+ (5)
Negizin alǵanda konkret mısalladı sheshiwde tayın (5) formuladan
paydalanbastan, ulıwma jaǵdaydaǵı siyaqlı jol tutıw máqsetke muwapıq.
Túsindirme. Ayırım jaǵdaylarda (1) teńlemeni aǵzaların gruppalaw menen dU=0 kóriniske keltiriw múmkin. Onıń ushın ol
(6)
kóriniske keltiriledi.
Bunda sonday , ,…, funksiyalar tabıladı, olar ushın

teńlikler orınlanadı.
Bunday jaǵdayda (6 ) nıń ulıwma integralı U₁( х,у ) +U₂ ( x,y ) +...+ U_n( x,y) =С
kóriniske iye.
Eger (3) shárt atqarılmasa, ol jaǵdayda (1) differensial teńleme tolıq
differensiallı bolmaydı. Biraq bul teńlemeni tiyisli (x, y) funksiyaǵa kóbeytiw
menen tolıq differensialli teńlemege keltiriw múmkin. Bunday funksiya berilgen
differensial teńleme ushın integrallaytuǵın ko'paytuvchi atı menen júritiledi.
(x, y) ushın (3) ten

S hattı payda etemiz. Tek x ke baylanıslı bolǵan (x) integrallaytuǵın kóbeytiwshi ushın hám (3) tómendegishe kórinis aladı:

D emek,

Tek y qa baylanıslı bolǵan (x, y) integrallaytuǵın ko'payruvchi ushın tap

Sonday

Kórinisti tabamız.
Mısal. Tolıq differensiallı teńlemelerdi sheshiń:

S heshiw, teńlemeniń shep tárepi funksiyanıń

tolıq differensiali ekenligin kóriw ańsat. Sol sebepli teńlemeni
kóriniste qayta jazıp alamız, bul jerden y=Cx ulıwma sheshimdi tabamız.
teńlemede aǵzalardı gruppalaw arqalı

kóriniske keltiriw múmkin. Keyininen

bolǵanı ushın
d i payda etemiz.
Juwap:

C) teńlemede teńlemede

Demek shárti orınlansa. Bunnan ol du dx Ol Ol ańlatpanıń qandayda-bir l! {xy) funksiyanıń tolıq differensiali ekenligi kelip shıǵadı.

1