Kirish Egri chiziqli integrallar

3.Birinchi tur egri chiziqli integralning xossalari.
Yuqorida ko‘rdikki,uzluksiz funksiyalarning birinchi tur egri chiziqli integrallari Riman integrallariga keladi.Binobarin,egri chiziqli integrallar ham Riman integrallari xossalari kabi xossalarga ega bo‘ladi.Shuni e’tiborga olib,egri chiziqli integrallarning asosiy xossalarini sanab o‘tish bilan kifoyalanamiz.
(4) sistema bilan aniqlangan egri chiziqda funksiya berilgan va uzluksiz.
.Agar bo‘lsa,u holda

bo‘ladi.
. Ushbu

tenglik o‘rinli.
egri chiziqda funksiya bilan funksiya ham berilgan va uzluksiz bo‘lsin.
.Quyidagi

formula o‘rinli bo‘ladi.
.Agar da bo‘lsa,u holda

bo‘ladi.
. funksiya shu da integrallanuvchi va

bo‘ladi.
.Shunday nuqta topiladiki,

bo‘ladi,bunda ning uzunligi.
xossa o‘rta qiymat haqidagi teorema deb ataladi.
4.Birinchi tur egri chiziqli integrallarni hisoblash.
Birinchi tur egri chiziqli integrallar,asosan Riman integrallariga keltirilib hisoblanadi.Yuqorida keltieilgan 1-teoremaga ko’ra egri chiziq ushbu

sitema bilan berilganda (bunda yoy uzunligi) ga funksiya shu da uzluksiz bo‘lganda egri chiziqli integral Riman integraliga keladi.Demak,bu Riman integralini hisoblash natijasida egri chiziqli integral topiladi.
Endi egri chiziq ushbu
(7)
sistema bilan berilgan bo‘lsin.Bunda funksiyalar da hosilalarga ega va hosilalar shu oraliqda uzluksiz hamda va bo‘lsin.
Ravshanki,(2) sistema oraliqni egri chiziqqa akslantiradi.Bunda ning chiziqdagi aksining uzunligi

bo‘ladi.
2-teorema.Agar funksiya da berilgan va uzluksiz bo‘lsa,u holda
(8)
bo‘ladi.
Isbot. oraliqning

bo‘linishini olaylik.Bu bo‘linishning bo‘luvchi nuqtalari ning dagi mos akslarini deylik.
Ravshanki,bu nuqtalar egri chiziqning

bo‘linishini hosil qiladi.Bunda va ning uzunligi

bo‘ladi.O‘rta qiymat haqidagi teoremadan foydalanib quyidagini topamiz :

bunda . Endi deb olamiz.Ravshanki, bo‘ladi. egri chiziqning yuqorida aytilgan

bo‘linishini va har bir da nuqtani olib,

yig‘indini tuzamiz.Uni quyidagicha ham yozish mumkin:
(8)
bu tenglikning o’ng tomonidagi yig‘indi
funksiyaning oraliqdagi Riman yig‘indisidir.
Shartga ko‘ra va funksiyalar uzluksiz.Demak,murakkab funksiyaning uzluksizligi haqidagi teoremaga ko‘ra va demak,

funksiya oraliqda uzluksiz.Demak,bu funksiya da integrallanuvchi bo‘ladi.Ya’ni

Modomiki, funksiyalar da uzluksiz ekan,unda da va demak, . Bundan esa bo‘lishi kelib chiqadi. (8) munosabatdan foydalanib

bo‘lishini topamiz.Bu esa

ekanini bildiradi.Teorema isbot bo‘ldi.
Bu teoremadan quyidagi natijalar kelib chiqadi.
1-natija. egri chiziq ushbu

tenglama bilan aniqlangan bo‘lib, funksiya da hosilaga ega va u uzluksiz bo‘lsin.Agar funksiya shu da berilgan va uzluksiz bo‘lsa,u holda
(9)
bo‘ladi.
2-natija. egri chiziq ushbu

tenglama bilan berilgan bo‘lib, funksiya da hosilaga ega va u uzluksiz bo‘lsin. Agar funksiya shu da berilgan va uzluksiz bo‘lsa,u holda
(10)
bo‘ladi.
Misol.Ushbu

egri chiziqli integral hisoblansin,bunda markazi koordinata boshida, radiusi ga teng bo‘lgan aylananing yuqori yarim tekislikdagi qismi.
Ravshanki,bu egri chiziq quyidagi

sistema bilan aniqlanadi. da funksiya uzluksiz.Demak,

bo‘ladi.