Kirish differensial tenglamalar

To’la differensialli tenglama

Ta’rif: Agar


M (x, y)dx N(x, y) 0

(1)

tenglamada bular uchun
M (x, y)
va N (x, y)
funksiyalar uzluksiz differensiallanuvchi bo’lib,

M _N
y x
(2)

munosibat bajarilsa (1) tenglama to’la differensialli tenglama deyiladi. Bunda

M _va N
N x
funksiyalar biror sohada uzluksiz funksiyalardir. Agar (1)

tenglamaning chap tomoni to’la differensial bo’lsa, u holda (2) shartning bajarilishi va aksiga (2) shart bajarilsa (1) tenglamaning chap tomoni to’la differensial bo’lsa, u holda (2) shartning bajarilishi va aksiga (2) shart bajarilsa,

1. 
   tenglamaning chap tomoni biror
   

u(x, y)
funksiyaning to’la bo’lishini

isbotlaymiz, ya’ni (1) tenglamani ko’rinishi
du(x, y) 0

(3)

bo’ladi, demak uning umumiy integrali
u(x, y) C
bo’ladi.

Dastlab, (1) tenglamaning chap tomonini biror
u(x, y)
funksiyaning to’la

differensiyali deb faraz qilamiz, ya’ni
M (x, y)dx N (x, y)dy du ^u dx ^u dy .

U holda

(4)


M ^u ,
x
x y


_{N }u
y

ni birinchisini y bo’yicha, ikkinchisini x bo’yicha xususiy hosilalarini topamiz.

M ²u
 ,
y xy
N ²

x yx

Ikkinchi tartibli xususiy hosilalarini uzluksiz deb faraz qilsak,
M _N
y x
bo’ladi,

ya’ni (2) tenglik (1) tenglamaning chap tomoni biror
u(x, y)
funksiyaning to’la

differensiali bo’lishining zaruriy shartidan biridir. Bu shartning yetarli shart bo’lishi, ya’ni (2) tenglik bajarilganda (1) tenglamaning chap tomoni biror

u(x, y)
funksiyaning to’la differensiyali bo’lishini ko’rsatamiz.
x
^u M (x, y)
x

munosabatdan
u _M (x, y)dx ( y) ni topamiz, bunda
x₀
x₀ -mavjud bo’lgan

sohadagi ixtiyoriy nuqtaning abssissasi. x bo’yicha integrallashda y ni o’zgarmas deb hisoblaymiz va shuning uchun integrallashda hosil bo’lgan ixtiyoriy o’zgarmas y ga bog’liq bo’lishi mumkin. y ni (4) munosabatlardan ikkinchisi bajariladigan qilib tanlab olamiz. Buning uchun keyingi tenglikni

ikkala tomonini y bo’yicha differensiallab natijani
M (x, y) ga tenglasak:

u ^x M
M N

y _x


 dx ( y) N (x, y) , ammo,
y
0
^x N

y x


x
bo’lgani uchun quyidagini

x
yozamiz _{}dx ^( y) N (x, y)
x₀
dan
N (x, y)
x₀
^( y) N (x, y)
yoki

N(x, y) N(x₀ , y) ^( y) N(x, y)
x

Demak,
^( y) N(x₀ , y₀ )


x
yoki


x
( y) _N (x, y)dy C₁ . Shunday qilib,
x₀
u(x, y)

funksiya
u(x, y) _M (x, y)dx _N (x, y)dy C₁
ko’rinishda bo’ladi. Bunda
P(x₀ , y₀ )

x₀ x₀
shunday nuqtani, uning biror atrofida (1) tenglamaning yechimi mavjud. Bu ifodani ixtiyoriy C o’zgarmas miqdorda tanlab, (1) tenglamaning umumiy integralini hosil qilamiz.
x x
_M (x, y)dx _N (x₀ , y)dy C
x₀ x₀
Xuddi shunga o’xshash
x x

_M (x, y₀ )dx _N (x, y)dy C
(6)

x₀ x₀

bo’ladi.

2-misol:

2
2x _{dx }y _y2

3x²

_y4


dy 0 tenglamani umumiy integralini toping.
y² 3x²

Yechish: Bu yerda
M ^2x ,
_y2
N  ( y 0 ) deb olamiz, u holda
_y4

M _6 x _,
N _6 x

y y⁴ x y⁴
Demak, (2) shart bajariladi. U holda tenglamani chap tomoni

u(x, y) funksiyaning to’la differensiyali bo’ladi. Bu funksiyani topamiz:
du _2x

2x x²
dx y³

bo’lagani uchun
u _y3 dx ( y) _y3 ( y) , bunda
( y)
funksiya y ning

noma’lum funksiyasi. Buni y bo’yicha differensiallab va
^u N 
y
y² 3x²


_y4

ekanligini e’tiborga olib,
3x²

_y4
^( y) 
x² 1
y²3x²
_y4
bo’lishini topamiz. Demak,

^( y) ¹ ,
( y) ¹ C , u(x, y) 
 C .

y² y ¹
y³ y ¹
2

Shunday qilib, dastlabki tenglamaning umumiy integrali
^x ¹ C y³ y
yoki

x² y² Cy³
bo’ladi.

2. Integrallovchi ko’paytuvchi

Bizga
M (x, y)dx N(x, y)dy 0
(1)

tenglama berilgan bo’lsin va uning chap tomoni biror funksiyali to’la

differensiyali bo’lmasin. U holda, ba’zan, shunday
(x, y)
funksiyani tanlab

olish mumkin bo’ladiki, tenglamaning barcha hadlarini shu ko’paytuvchiga ko’paytirilganda tenglamaning chap tomoni biror funksiyani to’la differensialini beradi. Shu usul bilan topilgan tenglamaning umumiy yechimi dastlabki

tenglamani umumiy yechimi bilan bir xil bo’ladi.
(x, y)
funksiya (1)

tenglamaning integrallovchi ko’paytiruvchisi deyiladi. Integrallovchi

ko’paytuvchini topish uchun hozircha bizga noma’lum bo’lgan har ikkala tomonini ko’paytiramiz:
(x, y) ga (1)ni

Mdx Ndy 0 . (2)

2. 
   tenglama to’la differensialli tenglama bo’lishi uchun quyidagi tenglik bajarilishi zarur va yetarlidir
   

(M ) _(N )
, (3)

ya’ni
y x
_M
_M _N _N 

yoki
y x x x

_M 
_N 
^N


_
M ^
 _. (4)

y x
_x
y _

Bu tenglamani har ikkala tomonini ga bo’lib,
_M ln _N ln _N _M

(5)

y x
x y

tenglik hosil qilamiz. (5) tenglamani qanoatlantiruvchi har qanday
(x, y)

funksiya (1) tenglamaning integrallovchi ko’paytuvchisi bo’ladi. (5) tenglama ikkita x va y o’zgaruvchilarga bog’liq bo’lgan noma’lum funksiyaga nisbatan xususiy hosilali tenglamadir. Ma’lum shartlar bajarilganda bu tenglamani yechimlari cheksiz ko’p ekanini va (1) tenglamaning integrallovchi ko’paytuvchisi bor ekanligini isbotlaymiz. Ammo, umumiy holda (5)

tenglamaning integralovchi ko’paytuvchisi
(x, y) ni topish (1) tenglamani

integrallashga nisbatan qiyinroq. Faqat ba’zi xususiy hollardagina
(x, y)
topish

mumkin. Masalan, (1) tenglamaning integrallovchi ko’paytuvchisi faqat y ga
N _M

bog’liq bo’lsin. Bu holda
ln _0
x
va ni topish uchun
ln _
y
x y
M
oddiy

differensial tenglama hosil bo’ladi: bunda (bitta kvadratura bilan)
N _M
ln 
aniqlanib

undan topiladi. Bunday ish ko’rish
x y
M
ifoda x ga bog’liq bo’lmagan
N _M

holdagina qo’llaniladi. Shunga o’xshash, agar
x y
N
ifoda y ga bog’liq

bo’lmasdan, faqat x ga bog’liq bo’lsa, u holda faqat x ga bog’liq bo’lmagani integrallovchi ko’paytuvchi oson topiladi.