Kirish: Asosiy qism

Teorema 1. Agar uzluksiz funksiya va dt bo’lsa, u holda

tenglik o’rinli. Boshqacha aytganda, aniq integraldan yuqori chegara bo’yicha olingan hosila integral ostidagi funksiyaga teng.
Isbot. x argumentga musbat yoki manfiy orttirma beramiz; u holda topamiz (6-xossa):

funksiyaning orttirmasi

ga teng, ya’ni

Oxirgi integralga o’rta qiymat haqidagi teoramani qo’llaymiz (5-xossa).

bu yerda miqdor orasida joylashgan.
Funksiya orttirmasining argument orttirmasiga nisbatan topamiz:

Demak,

Ammo da bo’lganligi uchun

uzliksiz bo’lganligi uchun

Shunday qilib, Teorema isbotlandi.
Teorema 2. Agar funksiya uzluksiz funksiyaning qandaydir boshlang’ichi bo’lsa, u holda

formula o’rinli. Bu formula Nyuton-Leybnits formulasi deyiladi.
Isbot. funksiya funksiyaning biror boshlang’ichi bo’lsin. 1-teoremaga ko’ra, funksiya ham funksiyaning boshlang’ichi bo’ladi. Ammo berilgan funksiyaning ixtiyoriy ikkita boshlang’ichlari bir-biridan o’zgarmas qo’shiluvchiga farq qiladi.
yoki

Bu yerdan . Demak,
Endi x=b deb olib, Nyuton-Leybnits formulasini olamiz:

yoki integrallash o’rniga x ni qo’ysak

ayirma boshlang’ich funksiyaning tanlanishiga bog’liq emas.
Agar
belgilash kiritsak
Nyuton-Leybnits formula aniq integrallarni hisoblashning qulay usulidir.