Kirish. Asosiy qism. Ikkinchi tartibli differenstil tenglmalar nazariyasi taqqoslash teoremasi

II. ASOSIY QISM.
Grin funksiyasi. Grin funksiyasining mavjudligi va yagonaligi
haqida"mavzusi bo‘yicha tarqatma material
Ma’lumki ikkinchi tartibli bir jinsli y p₁(x)y p₂(x)y  0 (1) tenglamaning bitta ^y₁(x) xususiy yechimi ma’lum bo’lsa, uning umumiy yechimi

y  y1^c₁y12p₁(x)dx dx c2_
formula bilan aniqlanar edi. Bunda P₁(x) ва P₂(x) lar ko’rilayotgan oraliqda uzluksiz funksiyalardir. d  dy
 p(x)   q(x)y  0 (2) dx dx
differensial tenglamaga o’ziga qo’shma ikkinchi tartibli differensial tenglama deyiladi.(2) ni ochib chiqsak:
d²y dx
p(x)  p'(x)  q(x)y  0 dx² dy
bundan kurinadikim, o’ziga qo’shma differensial tenglamada у' oldidagi koeffisiyent y" oldidagi koeffisiyentning hosilasiga tengdir.
Xossa1Xarqandayikkinchitartiblibirjinslichiziqlitenglamanio’zigaqo’shmabo’lgandifferen sialtenglamagakeltirishmumkin.
P₀(x)y"P₁(x)y'P₂(x)y  0 (3) differensial tenglama berilgan bo’lsin. ^P0(x)  0.
(3) tenglamaning xar ikkala tomonini (х) ga ko’paytirganda, o’ziga qo’shma bo’lgan differensial tenglamaga aylansin, ya’ni quyidagi shart bajarilsin.
(^P₀)'^P₁

Bundan 'P0 P0'  P1, 'P0  (P1  P0' ) d  P1  P0 dx _{ } P0'(x) dx _ P1(x) dx
 P₀ P₀(x) P₀(x)
integrallasak

ln ln P₀  ^PP¹₀⁽(^xx⁾) dx  C, C  0
P₁(x)

1 e P⁰(x)dx

P₀(x)
P_o(x) 1 e P10(x)dx 1  PP10((xx))dx P2(x) e P1P(0x()xdx) y  0
P (x) y  P1(x) e 
P₀(x) P₀(x) P₀(x)

d e PP₁0((xx))dx dy  ^P₂(x⁾ e _PP₁0(₍x_x)₎dxy _ 0
_
dx_ dx_ P₀(x)
 
P₁(x)

 dx

bunda p(x)  e ^P0(x) (6)
P₁(x)
P
q(x)  2(x) e P0(x)dx
P₀(x) deb olsak (2) tenglamaga ega bo’lamiz (6) dan ko’rinadikim p(x)  0.
Misol-1 Bessel tenglamasini o’ziga qo’shma bo’lgan differensial tenglamaga keltiring. x²y xy (x²  n²)y  0
Bu yerda p_o(x)  x² p₁(x)  x p₂(x)  x²  n²
p(x)  e p₁0(x) dx  xx2 dx  e dxx  eln x  x
 p (x) e

p₁(x)

q(x)  p2(x)e p0(x)dx  x2  n2  x  x  n2 p₀(x) x2 x

d x dy   x _ n² y _ 0
_{ }
dx dx _  _
Bu Bessel tenglamasiga qo’shma bo’lgan differensial tenglamadir.
Xossa 2. Ikkinchi tartibli bir jinsli chiziqli tenglamani erklio’zgaruvchini almashtirish yordamida uni xamma vaqt
y Q(t)y  0 (8)
Ko’rinishga keltirish mumkin.
Bunda Q(t)C(I) I  (a;b)
Faraz etaylik ikkinchi tartibli differensial tenglama o’ziga qo’shma xolga keltirilgan bo’lsin. d  dy
 p(x)   q(x)y  0 (9) dx dx
dx
Bunda t  ^ _p(x)
Almashtirishni olamiz.
(16) ga asosan
p(x)  0, p(x)  0bo’lgani uchun dt 1
  0ga ega bo’lamiz.
dx p(x)
Bundan t o’zgaruvchi ning monotan o’suvchi funksiyasi ekanligi kelib chiqadi. Bundan chiqadikim, xam ning uzluksiz va differensiallanuvchi funksiyasi sifatida
_{I  (a;b)}interavalga mos kelgan I₁  (,) interavalda aniqlanadi.



Uni x (t) (10) dy dy dt 1 dy desak    bajariladi. dx dt dx p(x) dt

U xolda dxd  p dydx  dtd _ p(x)  p(1x) dydt  dxdt  p(1x) dtd  dydt  (11)

(11) ^{ga asosan (9)} 1 d ^ dy^  q(x)y  0 (10)ni e’tiborga olsak keyingi tenglamani p(x) dt  dt 
d²y
Q(t)y  0 dt²
ko’rinishda yoza olamiz.
Bunda Q(t)  p((t))q((t))
Misol-2 xy y y  0
dx 1 1 1

1 2x  1 e2 ln(x)  1  x2  x2
 
x x 2
1

x ² y _ ¹ x^y  x^y  0
2
d  12 dy   x12 y  0
 dx

  xy  0

dt2 1,2  1

y  c1et  c2et  c1e2 x  c2e 2x
Xossa 3. Ikkinchi tartibli bir jinsli chiziqli tenglamani, noma’lum funksiyani chiziqli almashtirish yordamida.
z I(x)z  0
ko’rinishga keltirish mumkin. y p(x)y q(x)y  0 (12)
tenglamada y  u(x)z (13) almashtirishni olamiz. Bundan
y  uzuz y  uz 2uzuz
Bu qiymatlarni (12) ga qo’ysak uz 2uzuz  p(x)(uzuz)  q(x)uz  0
uz (2u p(x)u)z (u p(x)u q(x)u)z  0 (14)
z^_ ^2u  p(x)^_z ¹(u p(x)u q(x)u)z  0
 u  u
u(x) ixtiyoriyfunksiyabo’lganiuchununishundaytanlabolamizkim
2u
 p(x)  0 bajarilsin. u
d u 1 1 ^ p(x)dx
u   2 p(x)dx ln u   2 p(x)dx u  e
1  p(x)dx
bundan u   p(x)e
2
1
u   1   p(x)dx 1 2(x)e2 p(x)dx p(x) e  p
24
Bu qiymatlarni (14) ga qo’ysak
_ p(x)dx
z e
 1 p(x)dx 1 1 1 1
  ¹ p(x)e 2  p2(x)e2P(x)dx  p(x) 1 p(x)e2 p(x)dx  q(x)e2 p(x)dx z  0
 2 4  2  
 

1 ²(x))z z I(x)z  0 z (q(x) p(x)  p
4

1 ²(x)
I  q(x) p(x)  p
4
Bunga (12) tenglamaning invarianti deyiladi. c
Agar invariant o’zgarmas songa yoki I  ko’rinishga ega bo’lsa u holda ikkinchi (x  a)²
tartibli chiziqli differensial tenglamani xamma vaqt integrallash mumkin. Chunki bu xolda (12) tenglama yo koeffisiyentlari o’zgarmas tenglamaga yoki Eyler tenglamasiga keltiriladi.
2
Misol-3 xy 2y xy  0 y y y  0
x
2
q(x)  1; p(x) 
x
1  2  1  2 ² 1 1

I  2  2  2   4 _ x _  1 x2  x2  1 x _
z  z  0 1,2  i z  c₁cos x  c₂ sin x
1 2
  dx
u  e 2 x  eln x  1 y  uz  1 (c1cos x  c2 sin x) x x
Ikkinchi tartibli bir jinsli chiziqli differensial tenglamani tebranmas va tebranuvchi yechimlari. Taqqoslash teoremasi
Koeffisiyentlari o’zgarmas bo’lgan, ikkita ikkinchi tartibli y a²y  0 (1) y a²y  0 (2) differensial tenglamalar berilgan bo’lsin. Bunda a _ cost
Ma’lumki (1) tenglamaning xususiy yechimlari ^y₁  e^ax, ^y₂  e^ax dan iborat bo’lib
Uning umumiy yechimi y  c₁e^ax  c₂e^ax dan iborat.
Uning nolini topamiz

с1eax  c2eax  0 a  0 c1c2  0 с1  c2e2ax  0 e2ax   c1 2ax  ln  c1
c2 c2

1 c¹ x  ln 
2a c₂
ya’ni (1) tenglamaning yechimi (,) da bittadan ortiq nolga ega emas.
(1) tenglamaning umumiy yechimi yc₁cosaxc₂sinax Asin(ax) ning nolini topamiz:

Asin(ax)  0 ^ax_k k xk  k  xk1  xk  (k 1) k   a a a a a
ya’ni (2) tenglama(,) oraliqdacheksizko’pnollargaegabo’lib, ketmaketikkitanolorasidagamasofa^ gateng. a Uzunligi^ dankattabo’lganxarbiroraliqda (2) tenglamaningixtiyoriyyechiminingbittanoliyetadi, a
2^ uzunligi dankattabo’lganixtiyoriyintervaldaesa 2 tanoliyotadi.
a
Ta’rif. Agar differensial tenglamaning yechimi berilgan oraliqda bittadan ortiq nolga ega bo’lmasa, bunday yechimga tebranmas yechim deyiladi.
Agar bu yechim yetarli katta oraliqda 2 tadan ortiq nolga ega bo’lsa, bunday yechimga tebranuvchi yechim deyiladi.
Ma’lumki har qanday ikkinchi tartibli bir jinsli chiziqli differensial tenglamani. y p₁(x)y P₂(x)y  0
ni y p(x)y  0 (3) ko’rinishga keltirish mumkin.
Teorema1. Agar (a,b) oralig’ining barcha nuqtalarida p(x)  0bo’lsa u, xolda (3) tenglamaning xamma yechimlari bu oraliqda tebranmas bo’ladi.
Isbot.Aksincha faraz etaylik, (3) tenglamaning ixtiyoriy y1(x) yechimi ikkita nolga ega bo’lsin.Bu nollarni ^x₀, ^x₁ bilan belgilaymiz.
Masalaning aniqligi uchun ^x₀ ^x₁va(^x₀;^x₁) oraliqda y1(x) yechim boshqa nolga ega bo’lmasin.
U xolda uzluksiz ^y₁(x) funksiya bu oraliqda o’z ishorasini o’zgartirmaydi. Hamma vaqt bu oraliqda o’z ishorasini o’zgartirmaydi. Xamma vaqt bu oraliqda ^y₁(x)  0 deb olish mumkin
(aks xolda  y₁(x) yechimni olar edik). U xolda y₁^' (x)  0 chunki x₀
ningo’ng tomonida ^y₁(x) o’suvchi funksiya bo’lib, ^y₁^' (^x₀)  0 aks xolda ^y₁(x)  0 bo’lar edi (3) tenglamadan.
y  p(x)y  y₁^''  p(x)y₁  0
ya’niikkinchihosila (x₀,x₁) oraliqdamusbatbo’lganiuchun, y'1(x) buoraliqdakamayuvchidir
ya’ni
y₁^' (x)  y₁^' (x₀) (x₀  x x₁)
U xolda chekli ortirma haqidagi teoremaga asosan y₁(x₁)  y₁(x₀)  y₁^' ()(x₁  x₀)
Butenglikningchaptomoninolgatengbo’lib, o’ngtomoniesanoldanfarqlibuningbo’lishimumkinemas. Buqarama -qarshilikko’rsatidikim y1(x) yechimkurilayotganoraliqdatebranmasyechimdir.