Keysi teoremasi – “Casey’s theorem” (Umumlashgan Ptolemey Teoremasi)

1 – Teorema. [Casey’s theorem] 4 ta    aylanalar berilgan. Bu aylanalarga urinadigan   umumiy aylana mavjud agar va faqat, agar   shart bajarilsa.

Bu yerda,   –   aylanalarning umumiy urinmasi (agar   aylanalar   ga bir xil ravishda , aniqrog‘i ikkalasi ham ichki yoki tashqi urinsa, bu aylanalarning umumiy tashqi urinmasi, aks holda, umumiy ichki urinmasi). Yana yuqorudagi tenglikda urinmaning uzunligi nazarda tutilmoqda.

Tenglikda ko‘rsatilgan   mos ravishda Ptolemey teoremasiga o‘xshab o‘zgaradi. Agarda Ptolomey teoremasini eslaydigan bo‘lsak, aylanada olingan 4 ta    nuqtalar uchun quyidagi shart o‘rinli bo‘lar edi:

Xuddi shunday, 1-rasm ga ko‘ra ergashadigan bo’lsak,  teoremadagi ko’rinish quyidagicha bo’ladi:

Bu teorema birinchi bo’lib Keysi tomonidan berilgan bo‘lsada, u to’liqmas formatda bo‘lgan. Ya’ni Keysi faqat bir tomonlama keltirgan:

2 – Teorema. Agar     aylanalarga urinuvchi    aylana mavjud bo’lsa, u holda   tenglik o’rinli bo’ladi.

Birinchi bo’lib, yuqoridagi 2 – Teoremani analitik isbotini keltiramiz.

Isboti.      aylanalarning barchasi   aylanaga urinsin. Quyida ajoyib lemmani havola etamiz.