Katta sonlar qonuni Reja markov tengsizligi Chebishev tengsizligi 3

Katta sonlar qonuni
Reja
1 Markov tengsizligi
2 Chebishev tengsizligi
3 Tasodifiymiqdorlariketma-ketligi

Ma’lum shartlar bajarilganda katta sondagi tasodifiy miqdorlar yig’indisi o’zining tasodifiylik xaraktyerini yo’qotadi. Shu shartlarni ifodalovchiteoremalarkattasonlar qonuni haqidagi teoremalar deyiladi.

Bu haqdagi 1-teorema Bernulli tomonidan isbotlangan. Katta sonlar qonuni haqida teoremani isbotlashda qo’llaniladigan Chebishev tengsizligini keltirib chiqaramiz. Dastlab, uning umumlashgani bo’lgan Markov tengsizligini isbotlaymiz .
Markov tengsizlig i. Agar tasodifiy miqdorining matematik kutilmasi mavjud bo’lsa, ixtiyoriy va uchun
(1)
o’rinlibo’ladi.
Isbot: 1) Faraz qilaylik diskret tasodifiy miqdor bo’lsin. Ya’ni tasodifiy miqdor qiymatlarni ehtimolliklar bilan qabul qilsin ( ).
U holda
.
2) Endi faraz qilaylik uzluksiz tasodif miqdor zichlik funksiyasiga ega bo’lgan uzluksiz tasodifiy miqdor bo’lsin.
U holda

.

1. 
   tengsizlikisbotlandi.
   

va hodisalartengkuchlibo’lganligiuchunularningehtimolliklaritengbo’ladi, va
.
ni bilanalmashtiramiz, u holda

Demak,
(2)
Bu tengsizlikkaChebeshevtengsizligideyiladi.
Agar (2) ga deb olsak, u holda

bo’ladi.
Agar normal taqsimotgaegabo’lsa, u holda

bajarilishigaishonchhosilqilishmumkin.
Bunga -qoidasi deb ham ataladi.
Natija: Agar tasodifmiqdoriningdispyerstiyasi mavjudbo’lsa, ixtiyoriy uchun
. (3)
(3) ga ham Chebishevtengsizligideyiladi.
Isboti:
va
o’zaroqarama-qarshihodisalarbo’lganliklariuchun

va (2) gaasosan

Bizga tasodifiymiqdorlarketma-ketligiberilganbo’lsin, ketma-ketliknituzibolamiz.