Каршинский филиал ташкентского университета информационных технологий имени мухаммада аль-хоразми

Поверхностная диффузия (англ. surface diffusion) — процесс, связанный (как и в случае объёмной диффузии) с перемещением частиц (атомов, молекул или кластеров), происходящий на поверхности конденсированного тела в пределах первого поверхностного слоя атомов (молекул) или поверх этого слоя. При получении тонких пленок, пайке и в других подобных ТП важную роль играет поверхностная диффузия (миграция) атомов. Поверхность реального кристалла имеет дефективную структуру (рис. 3.18). При этом химическая связь атомов, находящихся на поверхности, осуществляется с меньшим числом соседей, чем у атомов, находящихся в объеме кристалла, вследствие чего их энергия связи с поверхностью значительно меньше энергии связи атомов в решетке. Поэтому и энергия активации процесса диффузии атомов на поверхности значительно меньше энергии активации объемной диффузии.

ТЕМА 4: Моделирование физическихпроцессов с помощъю программ позволяющих моделирование физических процессов.

План работы:

1. Моделирование физических систем и процессов
2. Пример математического моделирования физического процесса.
3. Методические рекомендации

Физическая наука неразрывно связана с математическим моделированием со времен Исаака Ньютона (XVII—XVIII вв.).

И.Ньютон открыл фундаментальные законы механики, закон всемирного тяготения, описав их на языке математики. И.Ньютон (наряду с Г.Лейбницем) разработал дифференциальное и интегральное исчисления, ставшие основой математического аппарата физики. Все последующие физические открытия (в термодинамике, электродинамике, атомной физике и пр.) представлялись в форме законов и принципов, описываемых на математическом языке, т.е. в форме математических моделей.
Можно сказать, что решение любой физической задачи теоретическим путем есть математическое моделирование. Однако возможность теоретического решения задачи ограничивается степенью сложности ее математической модели. Математическая модель тем сложнее, чем сложнее описываемый с ее помощью физический процесс, и тем проблематичнее становится использование такой модели для расчетов.
В простейшей ситуации решение задачи можно получить "вручную" аналитически. В большинстве же практически важных ситуаций найти аналитическое решение не удается из-за математической сложности модели. В таком случае используются численные методы решения задачи, эффективная реализация которых возможна только на компьютере.
Иначе говоря, физические исследования на основе сложных математических моделей производятся путем компьютерного математического моделирования. В связи с этим в XX веке наряду с традиционным делением физики на теоретическую и экспериментальную возникло новое направление — "вычислительная физика".
Исследование на компьютере физических процессов называют вычислительным экспериментом. Тем самым вычислительная физика прокладывает мост между теоретической физикой, из которой она черпает математические модели, и экспериментальной физикой, реализуя виртуальный физический эксперимент на компьютере. Использование компьютерной графики при обработке результатов вычислений обеспечивает наглядность этих результатов, что является важнейшим условием для их восприятия и интерпретации исследователем.
Основным законом механики является второй закон Ньютона, связывающий силу, действующую на тело, его массу и ускорение, получаемое в результате действия силы. В школьной физике этот закон представляется в следующем виде:

При этом подразумевается, что сила и масса. — постоянные величины. В таком случае и ускорение тоже будет постоянной величиной. Следовательно, уравнение (1) моделирует равноускоренное движение тела с постоянной массой под действием постоянной силы.
Применимость такой модели ограничена. Ее нельзя использовать для расчета движения тел с переменной массой и переменной силой. Например, при полете ракеты ее масса уменьшается за счет выгорания топлива, т.е. масса является функцией времени: m(t). Вследствие этого ускорение тоже становится переменной величиной и математическая модель изменится: 

Учтем, что ускорение — это производная от скорости (v) по времени, и опишем функцию изменения массы со временем (пусть она будет ли нейной); получим следующую математическую модель движения:

Здесь m0— начальная масса ракеты, q (кг/с) — параметр, определяющий скорость сгорания топлива. Уравнение (2) — это дифференциальное уравнение, в отличие от линейного алгебраического уравнения (1). Математическая модель усложнилась! Решать уравнение (2) значительно сложнее, чем (1). Если же учесть еще и возможность изменения со временем силы F(t) (сила тяги ракетного двигателя в процессе запуска — переменная величина), то модель станет еще сложнее:

При движении тел в атмосфере (или в жидкой среде) необходимо учитывать сопротивление среды — силу трения.
Сила трения имеет две составляющие: пропорциональную первой степени скорости тела и пропорциональную ее квадрату. Теперь уравнение движения примет вид:

Здесь k1 и k2 - эмпирические коэффициенты. Уравнение (5) связывает скорость с перемещением. Модель (4)—(5) стала ближе к физически реальной ситуации, но сложнее с математической точки зрения. Используя ее, можно получить ответы на практически важные вопросы. Например: при заданной F(t) определить, через сколько времени и на какой высоте ракета достигнет первой космической скорости. Или решить обратную задачу: какой должна быть сила тяги двигателя для того, чтобы на заданной высоте ракета достигла первой космической скорости? Если учитывать еще тот факт, что коэффициенты k1 и k2 — переменные величины, поскольку они зависят от плотности атмосферного воздуха, которая уменьшается с высотой, математическая модель (4)—(5) становится достаточно сложной. Решение на основе такой модели задач, сформулированных выше, требует использования численных методов и компьютера.
Методические рекомендации
Знакомство учащихся с компьютерными моделями физических процессов в базовом курсе информатики может происходить на уровне демонстрационных примеров. На рисунке показан пример учебной демонстрационной программы, моделирующей полет снаряда, выпущенного из пушки. Задача, которая ставится перед учениками, заключается в подборе параметров (начальной скорости и угла выстрела), которые обеспечивают попадание снаряда в цель (данная программа включена в федеральную коллекцию цифровых образовательных ресурсов). Аналогичные разработки имеются и в других учебных источниках.
В старших классах физико-математического профиля вопросы моделирования физических процессов должны входить в программу профильной подготовки. Можно предложить следующий перечень объектов моделирования, связанных с движением тел:

• 
  движение тел с учетом сопротивления среды (свободное падение, движение тела, брошенного под углом к горизонту, взлет ракеты и др.);
  
• 
  колебательное движение маятника с учетом сопротивления среды, вынужденные колебания, резонанс и т.д.;
  
• 
  движение небесных тел (задача двух тел);
  
• 
  движение заряженных частиц в электрических полях.
  

Другие типы задач, на базе которых можно реализовывать моделирование физических процессов, связаны с описанием физических процессов в приближении сплошной среды и в электромагнитных полях:

• 
  моделирование процесса теплопроводности и др.;
  
• 
  моделирование распределений статических — электрического и магнитного — полей.
  

Выше был подробно разобран пример моделирования свободного падения тела в атмосфере, в котором используются дифференциальные уравнения и численные методы их решения. Если математической подготовки учеников недостаточно для понимания такого подхода, то можно построить математическую модель сразу в конечно-разностной форме, не используя дифференциальных уравнений. Продемонстрируем методику применения такого подхода.
Напомним ученикам, что ускорение есть приращение скорости за единицу времени, а скорость — приращение перемещения за единицу времени:

Знаки приближенного равенства свидетельствуют о том, что эти соотношения тем точнее, чем меньше промежуток ?t; в пределе ? t— > 0 они становятся точными.
Если в некоторый момент времени t0 величина s имеет значение s(t0), а величина v – значение v(t0), то в следующий момент времени t1= t0 + ? t будем иметь:

При этом предполагается, что ускорение в течение данного отрезка времени не изменялось и оставалось равным a(t0).Здесь также использованы обозначения F0 = F(t0), т0 = m(t0) , т.е. имеется в виду, что сила и масса в общем случае могут быть переменными величинами.
При вычислениях значений vи sв последующие моменты времени можно поступать аналогично. Если известны значения viи si. в момент ti., то

Таким образом, получены те же самые формулы метода Эйлера, но методически иначе. При этом вообще не упоминаются дифференциальные уравнения.
При построении этой и подобной ей моделей следует обратить внимание учащихся на то, что в разбиении непрерывного времени на отрезки длиной Atпроявляется одна из фундаментальных идей информатики об универсальности дискретной формы представления информации, отраженная как в конструкции компьютера, так и во множестве приложений информатики.
Отметим, что существует немало компьютерных программ, моделирующих простые физические процессы. В них реализован диалоговый интерфейс, позволяющий вводить параметры, получать на экране таблицы, графики, движущиеся изображения. Однако при их использовании остаются скрытыми физические законы, определяющие процесс, ограничения модели, возможности ее усовершенствования. Такие программы полезны скорее как иллюстративные, ознакомительные. Учащихся, изучающих информатику на профильном уровне, целесообразно ориентировать на подробный анализ математических моделей и самостоятельную разработку программ.