Karrali xosmas integralning ta’rifi

Koshi teoremasi. xosmas integralning yaqinlashuvchi bo‘lishi uchun, son olingandan ham soni topilib bo‘lgan lar uchun
(12)
tengsizlikning bajarilishi zarur va yetarli.
1.1.2-ta’rif: Agar integral yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda absolyut yaqinlashuvchi, integral deb ataladi. funksiya esa oralikda absolyut integrallanuvchi funksiya deyiladi.
1.1.3-ta’rif. Agar integral yaqinlashuvchi bo’lib integral uzoqlashuvchi bo‘lsa, u holda shartli yaqinlashuvchi integral deyiladi.
Dirixle alomati. va funksiyalar oraliqda berilgan bo‘lib, ular quyidagi shartlarni bajarsin:
1) funksiya oralikda uzluksiz va uning shu oralikdagi boshlang‘ich funksiyasi chegarlangan:
2) funksiya oralikda hosilaga ega va u uzluksiz funksiya.
3) funksiya da kamayuvchi;
4)
U holda integral yaqinlashuvchi bo‘ladi.
Isbot. va funksiyalar oraliqda uzluksiz, ularning ko‘paytmasi  ham shu oraliqda uzluksiz . Demak,  funksiya istalgan ( ) oraliqda integrallanuvchi deyiladi, ya’ni
(13)
integral mavjud. Bu integralni bo‘laklab hisoblaylik:
(14)
Bu erda . Agar ekanligini e’tiborga olsak, bo‘ladi.
Endi ko‘raylik. Teorema shartiga ko‘ra funksiya oraliqda uzluksiz, differensiallanuvchi va shu oraliqda kamayuvchi ekanligidan da bo‘ladi. Bunga ko‘ra
bo‘ladi. Demak, ning barcha qiymatlarida integral yuqoridan chegaralangan bo‘lib, yaqinlashuvchilik kriteriysiga ko‘ra integral yaqinlashuvchi bo‘ladi. Bundan limitning mavjudligi va chekliligi kelib chiqadi. (2) tenglikda da limitga o‘tamiz: limit mavjud va chekli bo‘lib, bu ni yaqinlashuvchiligini isbotlaydi.
Misol. Bu erda , bu funksiyalar Dirixle alomatidagi barcha shartlarni qanoatlantiradi, demak bu integral yaqinlashuvchi.
2. I-tur xosmas integrallarni hisoblashni ko‘ramiz. Yaqinlashuvchi xosmas integralni hisoblash talab qilinadi.