Kam va muntazam to'plamlar

§2. Kam va muntazam to'plamlar.
4.3. Noyob to'plamlar. Ta'rif 4.1. E
x ⁰ nuqtada siyrak deyiladi, agar x ⁰ chegara bo'lmasa
E', x ⁰ lekin x ⁰ mahallasi mavjud V∈ x ⁰

Demak, agar nuqta x ⁰Ē yoki x ⁰ E' lekin izolyatsiya qilingan
E to'plamning nuqtasi bo'lsa, u E ning siyrak nuqtasidir. Biroq,
ochiq to'plamning har bir nuqtasi x ⁰ O siyrak emas, chunki uchun
har qanday subharmonik funktsiya

Agar nuqta x ⁰ to'plamga nisbatan siyrak E , keyin u qiladi
FE har qanday to‘plamga nisbatan siyrak. Joy oladi
keyingi qulayroq siyraklik mezoni.
4.4 Teorema. x ⁰ E' nuqta siyrak nuqta bo'lishi uchun
E to'plami funktsiya uchun zarur va etarli.

Isbot. Teoremaning etarliligi aniq, chunki agar
(4.28) amal qiladi, keyin
Dalil uchun kerak, deylik
bog‘langan o‘lchov bo‘lsin. Biz tushuvchi ketma-ketlikni olamiz
sharlar Ishga ko'ra
Rissa qayerda potensial mera

Bu aniq da Shuning uchun, biz
qator bo'lishi uchun ketma-ketligini tanlashimiz mumkin.
Qo’yamiz va n > 2 va n = 2 holatlarni ajrating. Qachon
n > 2 ta Rissa yadrosi hamma holda
Shuning uchun funksiya bitta lekin (4.29) ga muvofiq.

n = 2 uchun yadro faqat to'pda va funksiya bu yerda lekin
Sifatida keyin
butun fazoda subgarmonik funktsiyadir , va lekin Teorema isbotlangan.
Xulosa 4.1. Agar E - nuqtada siyrak bo‘lsa, u holda x ⁰ E' keyin
Bu yerda shar a - mera Lebeg o‘lchov
bor .
Aslida, 4.6-teorema funktsiyaning mavjudligini nazarda tutadi
lekin <0 va <0 ba’zida r0 bizda mavjud.
Demak, da
Xulosa 4.2. Konus emas 0K uchida kam uchraydi.
Xulosa 4.1.
4.5 Teorema. E qutb to‘plami barcha nuqtalarda siyrak x ⁰Ē. Aslida,
E -qutbli, bo‘lsin, Bir nuqtani tuzatish
x ⁰Ē, shar Funksiya
hisoblanadi B da salbiy subgarmonik funktsiya, va j ketma-ketlik
Shuning uchun, har biri uchun shar
garmonik, uni Puasson formulasiga muvofiq uyg'unlashtirish (2.4-band, 2.1-tarifga qarang): sharda garmonika tuzing.
Funksiya va quying.

U holda yig'indisi

uchun
Bu shuni anglatadiki E- x⁰ nuqtada zaryadsizlanadi va Bu yerda biz haqiqatdan foydalandik. Teorema isbotlangan.
Xulosa 4.3. Agar E - x⁰ nuqtada zaryadsizlanadi va S- qutb to'plami, u holda
E S va E ⃥S x⁰ nuqtada siyrak, boshqacha qilib aytganda, qutb to'plami siyraklikka ta'sir qilmaydi.