Kafedra: Sun’iy intellekt fan: Tizimlar va signallarni qayta ishlash Mustaqil ish Mavzu

O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI AXBOROT TEXNOLOGIYALARI VA KOMMUNIKATSIYALARINI RIVOJLANTIRISH VAZIRLIGI MUHAMMAD AL-XORAZMIY NOMIDAGI TOSHKENT AXBOROT TEXNOLOGIYALARI UNIVERSITETI

KAFEDRA: Sun’iy intellekt
FAN: Tizimlar va signallarni qayta ishlash


Mustaqil ish
Mavzu: Bazislarda spektral analiz algoritmlari
Bajardi: Abduraximov Fazliddin
Tekshirdi: Azimov Bunyod
Toshkent - 2021

Reja:
Kirish

1. 
   Xaara bazislarida spektral analiz asoslari
   
2. 
   Arrasimon o'zgartirish algoritmi va matrisasi
   
3. 
   Lokal spektral o'zgartirishlarning algoritmlari Xulosa
   

Foydalanilgan adabiyotlar va saytlar
Аxborot-kommunikatsiyalarini jadal surʼatlar bilan rivojlanishi signal va tasvirlarga
raqamli ishlov berishning, ularning matematik va dasturiy taʼminotini yaratish boʼyicha bir qator ilmiy tadqiqot ishlari olib borish zaruriyligi zamon talabi boʼlib qoldi. Bu ishlarda signallar va tasvirlarni filtrlash, interpolyatsiyalash va detsimatsiyalash hamda ularni tarmoq orqali uzatishda vaqtdan yutish, xotirada saqlaganda kam joy egallashi kabi masalalar uchun unumli matematik metod va algoritmlar yaratish sohasi muhim rol tutmoqda.Bunday masalalarni yechishda bir qator olimlar ilmiy izlanishlar olib
borgan, jumladan, xorijda J.Walsh, W.Prett, Dr. Pawel, Dobeshi, Oʼzbekistonda M.Musaev, X.Zayniddinov, R.Аloev, M.Аripov, А.QobulovlarYuqoridagi masalalarni yechishda odatda bazaviy almashtirishlarning eng samarali tanlab olinadi. Signallarni qayta ishlashda Furye almashtirishlari muhim boʼlsada, ularni raqamli koʼrinishga oʼtkazishda Uolsh-Аdamar almashtirishlari samaraliroqdir. Bundan tashqari, Uolsh- Аdamar almashtirishining bazis funktsiyalari matritsalari -1 va 1 sonlaridan iboratligi hisoblash vositalarining tezligi, aniqliligi va soddaliligini taʼminlaydi. Shuningdek, matritsalarning oʼlchovlari 2 ning darajalarida ifodalanishi ham hisoblashning soddalashtiradi. Xaara almashtirishida bazis funktsiyalari matritsalari 2, -1, 1, 2 sonlaridan
FURYE (Fourier) Jan Batist Jozef — fransuz matematigi, Parij FA aʼzosi (1817). Oserdagi harbiy maktabni tugatgan, oʻsha maktabda, keyin Politexnika
maktabida oʻqituvchi boʻlib ishlagan (1796—98). Dastlabki ilmiy ishlari algebraga doir. Asosiy ilmiy ishlari matematik fizikaga oid.
Furye o’zgartirish (f) – operatsiyasi moddiylik o’zgaruvchisini, boshqa funksiyaning moddiylik o’zgaruvchisiga solishtirish, bu yangi funksiya reja tuzishda boshlang’ich ajralish funksiyasini elimentar garmonika tebranishini har-xil chastotasi bilan amplituda kaefsentini tavsiflaydi.
X[n] diskret signali N ta nuqtali davrga ega bo‘lsin. Bu holda uni diskret sinusoidlarning yakuniy qatori (ya’ni chiziqli kombinatsiya) ko‘rinishida keltirish mumkin:

O‘xshash yozuv (har bir cosinusni sinus va kosinusga taqsimlaymiz, lekin endi

• 
  fazalarsiz)
  

Bazisli sinusoidlar karrali chastotalarga ega. Qatorning birinchi a’zosi (k = 0)

• 
  signalning doimiy tashkil etuvchisi deb ataluvchi konstanta. Eng birinchi sinusoidlar (k = 1) shunday chastotaga egaki, uning davri dastlabki signalning o‘zi
  

bilan mos. Eng yuqori chastotali tashkil etuvchi (k = N/2) shunday chastotaga egaki, uning dabri ikki hisobotga teng. Ak va Bk koeffitsienlari signal spektri deb

ataladi.
Endi ko‘rib turganimizdek, har bir signal uchun Ak va Bk koeffitsientlarini

aniqlash mumkin. Bu koeffitsientlarni bilgan holda har bir nuqtada Furye qatorining summasini hisoblagan holda dastlabki signalni tiklash mumkin. Signalni sinusoidlarga taqsimlanishi (ya’ni koeffitsientlarning olinishi) Furyening to‘g’ri o‘zgartirishi deb ataladi. Teskari jarayon – signalning sinusoidalar bo‘yicha sintezi

• 
  Furyening teskari o‘zgartirishi deb ataladi.
  

Furye teskari o‘zgartirish algoritm ochiq-oydin (u Furye qatorining formulasida mavjud; sintezni olib boorish uchun unga faqatgina koeffitsientlarni qo‘yib chiqish kerak). Furye to‘g’ri o‘zgartirishining algoritmini ko‘rib chiqamiz, ya’ni Ak va Bk koeffitsientlarning topilishi.

n argumentdan funksiya tizimi N davrli davrli diskret signallari fazosida orthogonal bazis hisoblanadi. Bu unda fazoning har qanday elementini taqsimlash uchun tizimning barcha funksiyalari bilan elementning skalyar ko‘paytmalarini hisoblab, va olingan koeffitsientlarni normallashtirish degani. Shunda dastlabki signal uchun Ak va Bk koeffitsientlar bilan bazis bo‘yicha taqsimlash formulasi haqiqiy bo‘ladi.
Shunday qilib, Ak va Bk koeffitsientlari skalyar ko‘paytmalar sifatida hisoblanadi (uzluksiz holatda – funksiyalar ko‘paytmasidan integrallar, diskret holatda – diskret signallar ko‘paytmasi summalari):

_𝐴 ^𝑁 _∑𝑁−1
2𝜋𝑘𝑖 𝑁

_𝑘=₂
𝑖=0
𝑥[𝑖]𝑐𝑜𝑠
𝑁
, bunda k=1,……, − 1
2

_𝐴 ^𝑁 _∑𝑁−1

2𝜋𝑘𝑖 𝑁

_𝑘=₂
𝑖=0
𝑥[𝑖]𝑐𝑜𝑠
𝑁
, bunda k=0 , (2.4)
2

_𝐵 ^𝑁 _∑𝑁−1


2𝜋𝑘𝑖 𝑁

_𝑘=₂
𝑖=0
𝑥[𝑖]𝑠𝑖𝑛
𝑁
, bunda k=0,……,
2

Savol paydo bo‘ladi: nima uchun dastlabki signalda N sonlar, N+2
koeffitsientlar yordamida yoziladi? Savolga javob quyidagicha bo‘ladi: B0 va BN/2 koeffitsientlari har doim nolga teng (chunki ularga mos keluvchi “bazisli” signallar diskret nuqtalarda ayniy ravishda nolga teng), va ularni Furyening to‘g’ri va teskari o‘zgartirishini hisoblashda tashlab yuborish mumkin.
Hozirgacha biz haqiqiy signallardan DFO‘ ko‘rib chiqayotgan edik. Endi DFO‘ ni kompleksli signallar holati bilan birlashtiramiz. x[n], n=0,…,N-1– N kompleks sonlardan tashkil topgan dastlabki kompleksli signal bo‘lsin. X[k], k=0,…N-1
belgilaymiz – uning kompleksli spektri, shuningdek N kompleks sonlardan tashkil topgan. Shunda Furye to‘g’ri va teskari o‘zgartirishining quyidagi formulalari haqiqiy.

𝑛=0
_{𝑋[𝑘] = ∑}𝑁−1 _{𝑥[𝑛]𝑒}−𝑗𝑛𝑘(2𝜋/𝑁)
_{𝑋[𝑛] =} ¹ _∑𝑁−1 _{𝑋[𝑘]𝑒}𝑗𝑛𝑘(2𝜋/𝑁)
(2.5)

_𝑁 𝑘=0
Agar bu formulalar bilan spektrga haqiqiy signal taqsimlansa, unda birinchi N/2+1 spektrning kompleksli koeffitsientlari “kompleksli” ko‘rinishda keltirilgan “oddiy” haqiqiy DPF spektr bilan mos tushadi, qolgan koeffitsientlar esa diskretizatsiya chastotasining yarmiga nisbatan ularning simmetrik aksi bo‘ladi. kosinusli koeffitsientlar aksi juft, sinuslar uchun esa – toq.

Xaara funksiyasi tizimlari teoretik va amaliy masalalarni katta sinfini
yechishda texnika va fanning turli sohalarida keng qo‘llanilishga ega. Bu bu bazis funksiyalarning qator ajoyib xususiyatlari va ular uchun spektral analizning videoeffektli hisoblash algoritmlari mavjudligi bilan bog’liq. Ixtiyoriy asosli hisoblash tizimida sonlarni ko‘rsatish holatidagi funksiya ma’lumotlarini umumlashtirish imkoniyati ham muhim ahamiyatga ega.
Xaaraning normallashgan funksiyalari ko‘p ma’noli funksiya hisoblanadi. Shuning uchun spektral qayta ishlash amaliyoti uchun atiga uch oddiy qiymatlarni (0, +1 va -1) qo‘llaydigan Xaaraning normallashgan funksiyalari ancha qulay hisoblanadi. Bunday funksiyalar analitik tarzda quyidagi ifoda bilan beriladi va belgio‘zgaruvchanlik xarakteriga ega, bunda birinchi turning uzilishning ichki nuqtalarida o‘ng tomonda uzluksiz qabul qilinadi.




Bu ifodadan ko‘rinib turibdiki, har bir guruh chegarasida bir xil quvvatga ega
Xaara funksiyalari yig’ilgan.Xaara funksiyalarini Uolsh funksiyasidan yana quyidagi tarzda olish mumkin.Uolshning birinchi funksiyasini [0,1) intervalda tanlaymiz va uni intervaldan tashqarida nolga teng deb olamiz(2.1-rasm).

2.1 – rasm. N=8 uchun Xaara funksiyalari tizimi

Endi bu funksiyani yarim intervalda z o‘qi bo‘yicha ikkiga qirqamiz. Bunda Xaara funksiyasi hosil bo‘ladi. siqilgan Uolsh funksiyasini z o‘qi bo‘yicha
aniqlanish intervalining yarimiga o‘nga siljitamiz, unda Xaaraning ikkinchi guruhi barcha funksiyalari hosil qilinadi. Siqilgan funksyalarni siqish va siljitish jarayonini berilgan N qiymati uchun Xaara funksiyasining to‘liq tizimi qurilishigacha davom ettirish mumkin[14]. Qiziq, yoritilgan.Xaaraning siqish va siljitish jarayonlarini Uolsh va Xaara tizimlari orasida o‘rta o‘rinlarni egalaydigan tizimlarini hosil qilgan holda Uolshning boshqa funksiyalariga ham qo‘llash mumkin. Bundan tashqari, bunday jarayonni boshqa bazis funksiyalarga qo‘llash mumkin, masalan: trigonometriyaga.
Aynan shunday yondashuv veyvletlar qurilishida ishlatiladi(2.2-rasm).

2.2-rasm. N=16 uchun Xaara funksiyalari tizimi.

Xaara funksiyalari multiplikativ hisoblanmaydi, chunki bunday funksiyalarning ikkitasining ko‘paytmasi Xaara tizimiga tegishli bo‘lmagan
natijalovchi funksiyani beradi. Shu sababdan Xaara spektrlari multiplikativ bazislar spektri hususiyatiga ega emas. Shunga qaramay alohida signallarning Xaara spektrlari bir qator foydali xususiyatlarga ega. Masalan, doimiylik qismlarining ikkilik-ratsional soniga ega bo‘lak-doimiy signalning Xaara spektri yakuniy va k N ≥ raqamli tashkil etuvchilarga ega emas. Bu shu bilan bog’liqki, k N ≥ raqamiga ega barcha Xaara funksiyalari doimiylik qismida +1 va -1 qiymatlarining teng soniga ega bo‘ladi.
Xaaraning diskret funksiyalarini analitik tarzda quyidagi munosabatlar yordamida yozish mumkin: N=8 uchun Xaaraning diskret tizimini olish.
Bu tizimni Xaara diskretizatsiya yo‘li bilan olish mumkin. Ikkala holatda ham quyidagi matritsa ko‘rinishida keltirish mumkin bo‘lgan bir xil natija bo‘ladi:




(2.8)


Ma’lum analitik yoritilgan Xaara diskret signallar spektri umumiy holatda Xaaraning uzluksiz signallar spektridan ko‘ra murakkabroq hisoblanadi, va qoidaga ko‘ra, tugatilgan oddiy ifodaga ega emas. Bu diskret variantida signal integrali o‘riniga ularning, odatda matematik hisoblanadigan va integrallardan ancha murakkab yoziladigan yig’indisini aniqlanishiga to‘gri kelishi bilan bog’liq. Aytib o‘tilganlar to‘liq ravishda darajali signallarga ham tegishli. Biroq, ular uchun kichik darajalar holatida va misollarida uzluksiz signallar uchun topilganlarga o‘xshash ifoda hosil qilishga erishiladi.

(2.9)
Diskret darajali signallar Xaara spektrining o‘zgarish xarakteri xuddi uzluksiz darajali signallar Xaara spektrida bo‘lganidek saqlanadi.

Xaara funksiyasi nol qiymatlariga ega bo‘larkan, demak Xaara spektrining faqat birinchi ikkita koeffitsintigina uni aniqlanishining butun intervalida signal holatini hisobga oladi. Qolgan barcha koeffitsientlar signalning lokal holatini
hisobga oladi va qancha kichik intervalda bo‘lsa, shuncha Xaara funksiyasi guruhi raqami shuncha katta. So‘ngi guruhning koeffitsentlari umuman faqatgina ikki qo‘shni signal qiyatlari bilan aniqlanadi. Asosan shu bilan Xaara spektri Uolsh spektridan farq qiladi, chunki Uolsh bazisi uchun har bir spektral koeffitsent signal holatini butun aniqlanish intervalida hisobga oladi. Xaara spektrining tanlash xarakteri signalning lokal xususiyatlarini o‘rganishda foydali bo‘lib chiqishi mumkin.
Arrasimon o‘zgartirish quyidagi jihatlar bilan boshqa o‘zgartirishlardan farq qiladi.Bu qismda ortogonal o’zgartirishlar keltirilgan.Bu o’zgartirishlar quyidagi jihatlar bilan boshqa o’zgartirishlardan farq qiladi.

1. 
   O’zining vektorlari orasida vektor komponentlar bilan bir xil
   
2. 
   Qisman monotonning vektor uzunligining sakrashini maksimal miqdordan minimal miqdorgacha tushiradi.
   
3. 
   Matritsa o’zgarishlarining o’zining asosiy xususiyatlariga ega.
   
4. 
   Tez algoritmli o’zgartirish imkoniyati mavjud.
   
5. 
   Yuqori darajadagi konsentratsiya ta’minlanadi energiya ko’rinshida. Vektorning uzunligi bo’yicha N=2 qisman o’zgartirish mos keladi. Arrasimon o’zgartirishning 2-tartibi shunday:
   

𝑆₂

= ¹ (^{1 1} ) (2.10)
^√2 1 −1

Arrasimon o’zgartirishli matritsa 4-tartibi quyidagi ko’rinishdagi formula orqali yoziladi:
(2.11)
Yoki,


(2.12)

Signallarni rakamli ishlov bеrishda spеktrial usullar yordamida qayta ishlash bir qancha qulayliklarni yaratadi. Spеktral usullar signalning xossalari va xususiyatlarini spеktrlarda shakllantirish,
Diskret kosinus o'zgartirish Uolsha o’zgartirish
Bеyvlеt o’zgartirish
Barcha ortogonal o’zgartirishlar signallar va tasvirlarni filtrlashda, siqishda foydalaniladi.